Exercice 5, § 2

Sur un ensemble ordonné $X$, on désigne par $\mathscr{T}_0(X)$ (resp. $\mathscr{T}_+(X), \mathscr{T}_-(X)$) la topologie engendrée par l’ensemble des intervalles ouverts (resp. l’ensemble des intervalles semi-ouverts à droite, l’ensemble des intervalles semi-ouverts à gauche), limités ou non. a) Montrer que si $X$ est totalement ordonné, les intervalles ouverts (resp. semi-ouverts à droite, semi-ouverts à gauche) forment une base de $\mathscr{T}_0(X)$ (resp. $\mathscr{T}_+(X), \mathscr{T}_-(X)$); les intervalles fermés sont des ensembles fermés pour ces trois topologies. b) Sur un ensemble totalement ordonné $X$, la topologie $\mathscr{T}_+(X)$ est plus fine que la topologie droite (I, p. 89, exerc. 2), la topologie $\mathscr{T}_-(X)$ est plus fine que la topologie gauche; la topologie intersection de $\mathscr{T}_+(X)$ et $\mathscr{T}_-(X)$ est $\mathscr{T}_0(X)$. c) Soit $X$ un ensemble totalement ordonné. Pour que la topologie $\mathscr{T}_0(X)$ admette une base dénombrable, il faut et il suffit qu’il existe un ensemble dénombrable $D \subset X$ tel que pour tout $x \in X$ et tout intervalle $]a, b[$ contenant $x$, il existe $\alpha \in D, \beta \in D$ tels que $a \leq \alpha < x < \beta \leq b$ (cf. IV, p. 48, exerc. 11 c)). d) Sur un ensemble bien ordonné (E, III, p. 15) $X$, la topologie $\mathscr{T}_+(X)$ est la topologie discrète; les topologies $\mathscr{T}_0(X)$ et $\mathscr{T}_-(X)$ sont identiques.