Bài tập 5, § 2

Trên một tập hợp có thứ tự $X$, ký hiệu $\mathfrak{T}_0(X)$ (tương ứng $\mathfrak{T}_+(X)$, $\mathfrak{T}_-(X)$) là tôpô được sinh bởi tập tất cả các khoảng mở (tương ứng tập các khoảng nửa mở bên phải, tập các khoảng nửa mở bên trái), dù bị chặn hay không.

a) Chứng minh rằng nếu $X$ có thứ tự tuyến tính thì các khoảng mở (tương ứng các khoảng nửa mở bên phải, các khoảng nửa mở bên trái) tạo thành một cơ sở của $\mathfrak{T}_0(X)$ (tương ứng $\mathfrak{T}_+(X)$, $\mathfrak{T}_-(X)$); và rằng các khoảng đóng là các tập đóng trong cả ba tôpô này.

b) Trên một tập hợp có thứ tự tuyến tính $X$, chứng minh rằng tôpô $\mathfrak{T}_+(X)$ mịn hơn tôpô phải ($§ 1$, Bài tập 2), rằng tôpô $\mathfrak{T}_-(X)$ mịn hơn tôpô trái, và rằng tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$ là giao của $\mathfrak{T}_+(X)$ và $\mathfrak{T}_-(X)$.

c) Cho $X$ là một tập hợp có thứ tự tuyến tính. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để $\mathfrak{T}_0(X)$ có một cơ sở đếm được là tồn tại một tập con đếm được $D$ của $X$ sao cho, với mỗi $x \in X$ và mỗi khoảng $]a, b[$ chứa $x$, tồn tại $\alpha \in D$ và $\beta \in D$ sao cho

[xem Lý thuyết tập hợp, Chương IV, $§ 2$, Bài tập 11 c)].

d) Chứng minh rằng nếu $X$ được sắp tốt (Lý thuyết tập hợp, Chương III, $§ 2$) thì tôpô $\mathfrak{T}_+(X)$ là tôpô rời rạc, và các tôpô $\mathfrak{T}_0(X)$ và $\mathfrak{T}_-(X)$ là giống hệt nhau.