Exercice 7, § 2

Pour tout ensemble $X$, on désigne par $\mathfrak{P}_0(X)$ l’ensemble des parties non vides de $X$. a) Soit $X$ un espace topologique non vide. Sur $\mathfrak{P}_0(X)$ on désigne par $\mathscr{T}_\Omega$ (resp. $\mathscr{T}_\Phi$) la moins fine des topologies telles que pour toute partie ouverte (resp. fermée) non vide $A$ de $X$, $\mathfrak{P}_0(A)$ soit ouvert (resp. fermé) dans $\mathfrak{P}_0(X)$. Montrer qu’en général ces deux topologies ne sont pas comparables, et que l’application $x \mapsto \{x\}$ est un homéomorphisme de $X$ sur un sous-espace de $\mathfrak{P}_0(X)$ quand on munit ce dernier de l’une des topologies $\mathscr{T}_\Omega, \mathscr{T}_\Phi$. b) Soit $D$ une partie dense de $X$; montrer que l’ensemble $\mathfrak{C}(D)$ des parties finies non vides de $D$ est dense dans $\mathfrak{P}_0(X)$ pour chacune des topologies $\mathscr{T}_\Omega, \mathscr{T}_\Phi$. c) Si on ordonne $\mathfrak{P}_0(X)$ par la relation d’inclusion, la topologie $\mathscr{T}_\Omega$ est moins fine que la topologie gauche sur $\mathfrak{P}_0(X)$ (I, p. 89, exerc. 2). Pour que $A \in \mathfrak{P}_0(X)$ soit isolé pour $\mathscr{T}_\Omega$, il faut et il suffit que $A = \{x\}$ où $x$ est isolé dans $X$; pour que $A \in \mathfrak{P}_0(X)$ soit isolé pour $\mathscr{T}_\phi$, il faut et il suffit que $X$ soit un espace fini discret et que $A = X$.

d) Montrer que si on munit $\mathfrak{P}_0(X)$ de $\mathscr{T}_\Omega$ (resp. de $\mathscr{T}_\phi$) et $\mathfrak{P}_0(X) \times \mathfrak{P}_0(X)$ du produit de $\mathscr{T}_\Omega$ (resp. $\mathscr{T}_\phi$) par elle-même, l’application $(M, N) \mapsto M \cup N$ de $\mathfrak{P}_0(X) \times \mathfrak{P}_0(X)$ dans $\mathfrak{P}_0(X)$ est continue.

e) Montrer que si on munit $\mathfrak{P}_0(X)$ de $\mathscr{T}_\phi$, l’application $M \mapsto \overline{M}$ est continue.

f) Soient $X, Y$ deux espaces topologiques, $f : X \to Y$ une application continue. Montrer que si on munit $\mathfrak{P}_0(X)$ et $\mathfrak{P}_0(Y)$ tous deux de la topologie $\mathscr{T}_\Omega$, ou tous deux de la topologie $\mathscr{T}_\phi$, l’application $M \mapsto f(M)$ de $\mathfrak{P}_0(X)$ dans $\mathfrak{P}_0(Y)$ est continue.

g) Soient $X, Z$ deux espaces topologiques; pour qu’une application $f : Z \to \mathfrak{P}_0(X)$ soit continue lorsqu’on munit $\mathfrak{P}_0(X)$ de la topologie $\mathscr{T}_\Omega$ (resp. $\mathscr{T}_\phi$), il faut et il suffit que pour tout ensemble fermé (resp. ouvert) $A$ de $X$, l’ensemble des $z \in Z$ tels que $f(z) \cap A \neq \varnothing$ soit fermé (resp. ouvert) dans $Z$.