Bài tập 7, § 2

Nếu $X$ là một tập hợp bất kỳ, ký hiệu $\mathfrak{P}_0(X)$ là tập hợp các tập con khác rỗng của $X$.

a) Cho $X$ là một không gian tôpô khác rỗng. Gọi $\mathfrak{T}_\Omega$ (tương ứng $\mathfrak{T}_\Phi$) là tôpô thô nhất trên $\mathfrak{P}_0(X)$ sao cho với mọi tập con mở (tương ứng đóng) khác rỗng $A$ của $X$, $\mathfrak{P}_0(A)$ là mở (tương ứng đóng) trong $\mathfrak{P}_0(X)$. Chứng minh rằng nói chung hai tôpô này không so sánh được, và rằng ánh xạ $x \to \{x\}$ là một phép đồng phôi của $X$ lên một không gian con của $\mathfrak{P}_0(X)$ nếu tập hợp sau mang một trong hai tôpô $\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$.

b) Cho $D$ là một tập con trù mật của $X$. Chứng minh rằng tập hợp $\mathfrak{G}(D)$ gồm các tập con hữu hạn khác rỗng của $D$ là trù mật trong $\mathfrak{P}_0(X)$ đối với một trong hai tôpô $\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$.

c) Nếu $\mathfrak{P}_0(X)$ được trang bị thứ tự bởi quan hệ bao hàm, chứng minh rằng tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ thô hơn tôpô trái trên $\mathfrak{P}_0(X)$ (§ 1, Bài tập 2); rằng $A \in \mathfrak{P}_0(X)$ là cô lập trong tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ khi và chỉ khi $A = \{x\}$, trong đó $x$ là một điểm cô lập của $X$; và rằng $A \in \mathfrak{P}_0(X)$ là cô lập trong tôpô $\mathfrak{T}_\Phi$ khi và chỉ khi $X$ là một không gian rời rạc hữu hạn và $A = X$.

d) Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{P}_0(X)$ mang tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ (tương ứng $\mathfrak{T}_\Phi$) và

mang tôpô là tích của $\mathfrak{T}_\Omega$ (tương ứng $\mathfrak{T}_\Phi$) với chính nó, thì ánh xạ $(M, N) \to M \cup N$ từ $\mathfrak{P}_0(X) \times \mathfrak{P}_0(X)$ vào $\mathfrak{P}_0(X)$ là liên tục.

e) Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{P}_0(X)$ mang tôpô $\mathfrak{T}_\Phi$, thì ánh xạ $M \to \overline{M}$ là liên tục.

f) Cho $X, Y$ là hai không gian tôpô, $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng nếu cả $\mathfrak{P}_0(X)$ và $\mathfrak{P}_0(Y)$ đều mang tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$, và nếu cả hai đều mang tôpô $\mathfrak{T}_\Phi$, thì ánh xạ $M \to f(M)$ từ $\mathfrak{P}_0(X)$ vào $\mathfrak{P}_0(Y)$ là liên tục.

g) Cho $X, Z$ là hai không gian tôpô. Chứng minh rằng một ánh xạ $f : Z \to \mathfrak{P}_0(X)$ là liên tục khi $\mathfrak{P}_0(X)$ mang tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ (tương ứng $\mathfrak{T}_\Phi$) khi và chỉ khi tập hợp tất cả các $z \in Z$ sao cho $f(z) \cap A \neq \emptyset$ là đóng (tương ứng mở) trong $Z$ đối với mỗi tập con đóng (tương ứng mở) $A$ của $X$.