Exercice 13, § 8

Soient $X$ un ensemble, $\Gamma$ un groupe de permutations de $X$.

a) Soit $\mathfrak{F}$ un ensemble de parties de $X$. Montrer que, parmi toutes les topologies sur $X$ telles que, pour chacune de ces topologies, tous les ensembles de $\mathfrak{F}$ soient fermés, et que toute application $u \in \Gamma$ soit un homéomorphisme de $X$ sur lui-même, il en existe une $\mathscr{T}(\Gamma, \mathfrak{F})$ moins fine que toutes les autres. Si $X$ est infini, montrer qu’il existe des ensembles $\mathfrak{F}$ de parties de $X$ tels que $\mathscr{T}(\Gamma, \mathfrak{F})$ soit non discrète et accessible (I, p. 92, exerc. 8).

b) Soit $J(\Gamma')$ l’ensemble des parties $A$ de $X$ ayant la propriété suivante: pour tout $x \notin A$, il existe une application $f \in \Gamma'$ laissant invariant tout élément de $A$ et telle que $f(x) \neq x$. Montrer que toute topologie séparée sur $X$, pour laquelle toute application $u \in \Gamma$ soit un homéomorphisme de $X$ sur lui-même, est plus fine que $\mathscr{T}_J(\Gamma) = \mathscr{T}(\Gamma, J(\Gamma'))$.

Afin que la topologie $\mathscr{T}_J(\Gamma)$ soit séparée, il faut et il suffit que le groupe $\Gamma$ vérifie la condition suivante: quels que soient les points distincts $x, y$ de $X$, il existe un nombre fini d’éléments $u_k \in \Gamma$ tels que, si $F(u_k)$ est l’ensemble des éléments de $X$ invariants par $u_k$, les $F(u_k)$ forment un recouvrement de $X$ et aucun des $F(u_k)$ ne contient à la fois $x$ et $y$.

c) On désigne par $\mathscr{T}_0$ la topologie de la droite rationnelle $\mathbf{Q}$ (resp. de la droite numérique $\mathbf{R}_*$), par $\Gamma$ le groupe des homéomorphismes de $\mathbf{Q}$ (resp. $\mathbf{R}_*$) sur elle-même. Montrer que la topologie $\mathscr{T}_J(\Gamma)$ est identique à $\mathscr{T}_0$.

d) Soit $X$ le sous-espace de la droite rationnelle formé de 0 et des points $1/n$ ($n$ entier $\geqslant 1$); soit $\Gamma$ le groupe des homéomorphismes de $X$. Montrer que la topologie $\mathscr{T}_J(\Gamma)$ n’est pas séparée, et que le groupe des homéomorphismes de $X$ pour cette topologie est égal à $\Gamma$.

e) Soit $X$ un espace topologique tel que pour tout couple de points distincts $x, y$ de $X$, il existe un homéomorphisme $u$ de $X$ sur lui-même tel que $u(x) = x, u(y) \neq y$ (*par exemple les espaces numériques $\mathbf{R}^n_*$). Soit $G$ le groupe des homéomorphismes de $X$ sur lui-même, et pour tout $x \in X$, soit $S_x$ le sous-groupe de $G$ laissant $x$ invariant. Montrer que $S_x$ est égal à son normalisateur dans $G$, et que l’intersection des $S_x$ est réduite à l’élément neutre de $G$; en particulier, le centre de $G$ est réduit à l’élément neutre.