Exercice 13, § 2

Soit $a$ un nombre irrationnel $> 0$; pour tout nombre rationnel $x$, soit $f_a(x)$ le nombre réel de l’intervalle $(0, a[$ tel que $x - f_a(x)$ soit un multiple entier de $a$; montrer que $f_a$ est une application injective et continue de $\mathbf{Q}$ dans $(0, a[$. En déduire, à l’aide de l’exerc. 9 (IV, p. 48), qu’il existe des applications bijectives continues de $\mathbf{Q}$ sur lui-même, dont l’application réciproque n’est continue en aucun point.