Exercice 22, § 2

Soit $f : \mathbf{R} \to X$ une application continue bijective de $\mathbf{R}$ sur un espace localement compact et localement connexe X. Considérant $\mathbf{R}$ comme plongée dans la droite achevée $\overline{\mathbf{R}}$, soit $H^+$ (resp. $H^-$) l’ensemble des valeurs d’adhérence de $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ (resp. vers $-\infty$).

a) Montrer qu’il n’est pas possible qu’il existe trois points $a,\ b,\ c$ dans X tels que $a \in H^+,\ b \in H^+,\ c \in H^-,\ a \neq b$ et $a \neq c$. (Si V est un voisinage compact connexe de $a$ dans X, ne contenant ni $b$ ni $c$, montrer qu’il existerait une suite $(t_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ dans $\mathbf{R}$, strictement croissante et telle que $\lim_{n \to +\infty} t_n = +\infty,\ \lim_{n \to -\infty} t_n = -\infty$, et $f(t_n) \notin V$ pour tout $n$. En remarquant que V serait réunion des ensembles $V \cap f([t_n,\ t_{n+1}])$, en déduire une contradiction en utilisant l’exerc. 18 a) de II, p. 39).

b) Déduire de a) que chacun des ensembles $H^+,\ H^-$ a au plus un élément. En déduire que X est nécessairement homéomorphe à l’un des cinq espaces suivants : 1° $\mathbf{R}$; 2° le sous-espace de $\mathbf{R}^2$, réunion d’un cercle $\|z\| = 1$ et de l’intervalle $[1,\ +\infty[$ de $\mathbf{R}$; 3° le sous-espace de $\mathbf{R}^2$, réunion du cercle $\|z - 1\| = 1$ et de son symétrique par rapport à 0; 4° le sous-espace de $\mathbf{R}^2$, réunion du cercle $\|z\| = 1$ et de l’intervalle $(-1,\ 1)$ de $\mathbf{R}$; 5° le sous-espace de $\mathbf{R}^2$, réunion du cercle $\|z\| = 1$, du cercle $\|z\| = 2$ et du segment $[1,\ 2]$ de $\mathbf{R}$. (Noter que lorsque par exemple $H^+$ est réduit à un point $a$, on a $\lim_{t \to +\infty} f(t) = a$.)*