Exercice 14, § 1

a) Soient $X$ un espace complètement régulier, $f$ un homéomorphisme de $X$ sur un sous-espace partout dense $Y$ d’un espace compact $K$, et soit $\bar{f}: \beta X \to K$ l’application continue prolongeant $f$; montrer que l’on a $\bar{f}(\beta X - X) = K - Y$. (Raisonner par l’absurde en montrant plus généralement que si l’homéomorphisme $f$ est restriction d’une application continue $g: K' \to K$, $X$ étant dense dans $K'$, on doit avoir $g(K' - X) = K - Y$; si $a \in K' - X$ et $b \in X$ étaient tels que $g(a) = g(b)$, considérer l’image réciproque par $g$ de la trace sur $Y$ d’un système fondamental de voisinage de $g(a) = g(b)$ dans $K$.

b) Déduire de a) que pour qu’un espace complètement régulier $X$ soit ouvert dans son compactifié de Stone-Čech $\beta X$, il faut et il suffit que $X$ soit localement compact.