Exercice 17, § 1

Soient $X$ un espace complètement régulier, $f$ une fonction numérique finie, continue dans $\beta X$, telle que $f(x) > 0$ dans $X$ et que l’ensemble $f^{-1}(0) \subset \beta X - X$ ne soit pas vide; il y a alors une suite $(a_n)$ de points de $X$ telle que la suite des nombres $\lambda_n = f(a_n) > 0$ soit strictement décroissante et tende vers 0. Soit $A$ l’ensemble des valeurs d’adhérence de $(a_n)$ dans $\beta X$. Pour tout entier $n \geq 0$, soit $I_n$ un intervalle ouvert de centre $\lambda_n$ dans $\mathbf{R}_+^*$ tels que les intervalles fermés $I_n$ soient deux à deux disjoints, et soit $M_n = f^{-1}(I_n) \cap X$. Pour toute partie $H$ de $\mathbf{N}$, soit $M_H$ la réunion des $M_n$ tels que $n \in H$; pour tout filtre $\mathscr{F}$ sur $\mathbf{N}$, plus fin que le filtre de Fréchet, soit $\mathscr{F}'$ le filtre sur $X$ ayant pour base les $M_H$, où $H$ parcourt $\mathscr{F}$. Montrer que si $\mathscr{F}_1, \mathscr{F}_2$ sont deux ultrafiltres distincts sur $\mathbf{N}$, plus fins que le filtre de Fréchet, les filtres correspondants sur $X$ ne peuvent avoir de point adhérent commun (si $H_1 \in \mathscr{F}_1, H_2 \in \mathscr{F}_2$ sont disjoints, montrer qu’il existe sur $X$ une fonction continue égale à 0 dans $M_{H_1}$ et à 1 dans $M_{H_2}$). En déduire que l’on a Card (A) $\geq 2^{2^{\aleph_0}}$ (cf. I, p. 101, exerc. 6 a)).