Exercice 18, § 1

Soit $X$ un espace infini discret. a) Montrer que Card ($\beta X$) = $2^{2^{\text{Card}(X)}}$ (I, p. 101, exerc. 6 a)). b) Montrer que si A est une partie infinie fermée de $\beta X$, on a Card (A) $\geq 2^{2^{\aleph_0}}$. (Prouver d’abord qu’il existe une suite infinie $(a_n)$ de points de A et pour chaque $n$ un voisinage $V_n$ de $a_n$ dans $\beta X$, les $V_n$ étant deux à deux disjoints; en déduire que toute fonction numérique bornée définie dans l’ensemble D des $a_n$ se prolonge en une fonction continue dans $\beta X$, en considérant dans $X$ la fonction égale à $f(a_n)$ en tout point de $X \cap V_n$. En conclure que $\overline{D} \subset A$ est homéomorphe à $\beta D$ (cf. IX, p. 106, exerc. 23b)).