Exercice 3, § 1

Soient $X$ un espace topologique, $\mathscr{T}$ sa topologie, $(f_i)$ une famille saturée (IX, p. 4) d’écart sur $X$, $\mathscr{U}$ la structure uniforme définie par la famille $(f_i)$.

a) Pour que la topologie déduite de $\mathscr{U}$ soit moins fine que $\mathscr{T}$, il faut et il suffit que les $f_i$ soient continues dans $X \times X$ (pour la topologie produit de $\mathscr{T}$ par elle-même).

b) Pour que la topologie déduite de $\mathscr{U}$ soit plus fine que $\mathscr{T}$, il faut et il suffit que, pour tout $x_0 \in X$ et tout voisinage $V$ de $x_0$ (pour $\mathscr{T}$), il existe un indice $i$ et un nombre $a > 0$ tels que, pour tout $x \in C V$, on ait $f_i(x_0, x) \geq a$.