Exercice 26, § 2

Soient $X$ un espace localement compact métrisable, $f : X \to Y$ une application continue fermée de $X$ dans un espace topologique séparé $Y$. a) Soit $K$ une partie compacte de $X$. Montrer qu’il ne peut exister de suite infinie $(y_n)$ de points distincts dans $Y$ telle que chacun des $f^{-1}(y_n)$ soit non compact et rencontre $K$. (Soit $L$ l’ensemble des points adhérents à la base de filtre sur $X$ formée des ensembles $f^{-1}(S_n)$, où $S_n$ est l’ensemble des $f^{-1}(y_m)$ pour $m \geq n$. Montrer que $L$ n’est pas vide, puis considérer deux cas suivant que $L$ est compact ou non. Dans chacun des deux cas, montrer qu’on peut former dans $X$ une suite $(x_n)$ sans valeur d’adhérence telle que les $f(x_n)$ soient tous distincts et que la suite des $f(x_n)$ soit convergente, contrairement à l’hypothèse que $f$ est fermée). b) Déduire de a) que l’ensemble $N$ des points $y \in Y$ tels que $f^{-1}(y)$ soit non compact est un sous-espace fermé et discret de $Y$ (utiliser a) pour prouver que pour toute partie $A$ de $N$, $f^{-1}(A)$ est fermé dans $X$).