Exercice 27, § 2

On dit qu’un espace topologique $X$ est submétrisable si sa topologie est plus fine qu’une topologie d’espace métrisable. Un espace submétrisable est séparé, mais non nécessairement régulier (I, p. 103, exerc. 20). a) Pour qu’un espace complètement régulier $X$ soit submétrisable, il faut et il suffit qu’il existe sur $X$ une structure uniforme compatible avec sa topologie et définie par une famille d’écart $\Phi$ contenant au moins une distance $d$ (cf. IX, p. 84, exerc. 3). Soit alors $\hat{X}$ le complété de $X$ pour cette structure uniforme; la distance $d$ se prolonge en un écart $\bar{d}$ sur $\hat{X}$; montrer que pour tout $x \in \hat{X}$, il existe au plus un point $y \in X$ tel que $\bar{d}(x, y) = 0$. b) Montrer que si $X$ est un espace complètement régulier submétrisable, il existe une structure uniforme compatible avec la topologie de $X$ et pour laquelle $X$ est complet (utiliser a) et l’exerc. 25 b de IX, p. 90). En déduire que si en outre $X$ est weierstrassien (IX, p. 88, exerc. 20), il est compact. c) Montrer qu’un espace localement compact $X$, paracompact et submétrisable est métrisable (se ramener au cas où $X$ est dénombrable à l’infini à l’aide du th. 5 de I, p. 70; utiliser ensuite IX, p. 21, corollaire (cf. IX, p. 113, exerc. 14).