Exercice 28, § 2

Soient $X, Y$ deux espaces métriques, $d, d'$ les distances sur $X$ et $Y$, $f$ une application de $X$ dans $Y$. a) On suppose que l’image par $f$ de toute partie compacte de $X$ soit une partie compacte de $Y$. Montrer que si en un point $a \in X, f$ n’est pas continue, il existe une suite infinie $(x_n)$ de points de $X$, tendant vers $a$, et telle que $x_n \in f^{-1}(b)$, où $b$ est un point de $Y$ distinct de $f(a)$. (Raisonner par l’absurde; montrer qu’il existerait une suite $(z_n)$ de points distincts de $X$, tendant vers $a$, telle que $f(z_i) \neq f(z_j)$ pour $i \neq j$ et que les $f(z_n)$ appartiennent au complémentaire d’un voisinage de $f(a)$; l’hypothèse entraînerait alors que l’ensemble des $f(z_n)$ est compact; montrer que cela entraîne contradiction). b) Déduire de a) que si $f$ est telle que: 1° l’image par $f$ de toute partie compacte de $X$ est une partie compacte de $Y$; 2° l’image réciproque de tout point de $Y$ par $f$ est fermée dans $X$, alors $f$ est continue dans $X$. c) On suppose en outre $X$ localement connexe. Montrer que si $f$ est telle que: 1° l’image par $f$ de toute partie compacte de $X$ est une partie compacte de $Y$; 2° l’image par $f$ de toute partie connexe de X est un e partie connexe de Y, alors f est continue dans X. (Raisonner par l’absurde en utilisant a) : avec les mêmes notations, soit (V_n) un système fondamental de voisinages connexes de a dans X. En utilisant le fait que f(V_n) est connexe, montrer qu’il existerait dans chaque V_n un point u_n tel que 0 < d'(f(u_n), b) < 1/n et en déduire une contradiction en considérant l’ensemble formé de a et des u_n).