Exercice 29, § 2

a) Soient (X_α, f_{αβ}) un système projectif d’espaces uniformes séparés (II, p. 12). X sa limite projective, f_α : X → X_α l’application canonique. Soit R(X) (resp. R(X_α)) l’ensemble des parties compactes non vides de X (resp. X_α) muni de la structure uniforme déduite de celle de X (resp. X_α) par le procédé de II, p. 34, exerc. 5. Soit φ une base de filtre sur R(X); montrer que pour que φ soit convergente dans R(X), il faut et il suffit que pour tout α, la base de filtre f_α(Φ) soit convergente dans R(X_α), et si L_α est sa limite, les L_α forment un système projectif de parties compactes des X_α, dont la limite projective est la limite de φ.

b) Montrer que pour tout espace uniforme séparé et complet Y, l’espace uniforme R(Y) des parties compactes non vides de Y est complet. (En utilisant l’exerc. 1 de IX, p. 90, se ramener au cas où Y est un produit d’espaces métriques complet et utiliser alors a) et l’exerc. 6 de IX, p. 105).