Exercice 30, § 2

Soient X un espace métrique, d la distance sur X, (x_i)_{1 \leq i \leq q} une suite finie de points de X, h un nombre > 0.

a) Pour tout y ∈ X et tout entier k tel que k ≥ 1, on désigne par n_k(y) le nombre d’indices i tels que d(y, x_i) ≤ kh/q; on a n_k(y) ≤ q. S’il existe un entier k tel que k ≤ n_k(y), il existe un plus grand entier j ≥ k tel que j ≤ n_j(y), et on a alors j = n_j(y); on désigne cet entier par j(y); si k > n_k(y) pour tout k, on pose j(y) = 0. On a j(x_i) ≥ 1 pour tout i.

b) Soit m ≤ q la plus grande valeur de j(y) lorsque y parcourt X, et soit z ∈ X tel que j(z) = m ≥ 1. Montrer que si x ∈ X est tel que d(x, z) > 2mh/q, alors il existe un indice i tel que d(x, x_i) > h. (Observer d’abord qu’il existe au moins un indice i tel que d(x, x_i) > mh/q. Si l’on avait d(x, x_i) ≤ h pour tout i, on en conclurait que m = q, d’où contradiction.)

c) Montrer qu’il existe une partition (N_k)_{1 \leq k \leq s} de l’intervalle [1, q] de N en parties non vides, et une suite (z_k)_{1 \leq k \leq s} de points de X ayant les propriétés suivantes: 1° si j_k(y) est la fonction définie comme dans a) pour la suite partielle de (x_i) correspondant à l’ensemble d’indices N_k ∪ N_{k+1} ∪ ... ∪ N_s, alors j_k(z_k) est la plus grande valeur possible de j_k(y) lorsque y parcourt X; 2° N_k est l’ensemble des j_k(z_k) indices i tels que d(z_k, x_i) ≤ j_k(z_k)h/q. (Définir les suites (z_k) et (N_k) par récurrence en prenant pour z_1 un point où j(y) prend sa plus grande valeur.)

d) On pose a_k = j_k(z_k), r_k = 2a_kh/q, de sorte que a_1 + a_2 + ... + a_s = q, et

Soit x ∈ X tel que d(z_k, x) > r_k pour 1 ≤ k ≤ s; soit σ une permutation de [1, q] telle que Montrer que pour tout p tel que 1 ≤ p ≤ q, on a d(x, x_{σ(p)}) > ph/q. (Il existe un indice k tel que les indices σ(1), σ(2), ..., σ(p) appartiennent à l’ensemble N_k ∪ N_{k+1} ∪ ... ∪ N_s. Appliquer b) à la suite formée des x_{σ(i)} pour 1 ≤ i ≤ p en utilisant la définition des z_k donnée dans c.).

e) Déduire de d) que pour tout point x ∈ X tel que d(z_k, x) > r_k pour 1 ≤ k ≤ s, on a

où e est la base des logarithmes népériens (théorème de Boutroux-Bloch-H. Cartan).