Exercice 1, § 3

Sur un groupe G noté multiplicativement, on dit qu’un écart f est invariant à gauche (resp. invariant à droite) si, quels que soient x, y, z dans G, on a $f(zx, zy) = f(x, y)$ (resp. $f(xz, yz) = f(x, y)$).

a) Si f est un écart invariant à gauche, la fonction numérique $g(x) = f(e, x)$ sur G satisfait aux conditions suivantes : 1° $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in G$; 2° $g(x^{-1}) = g(x)$; 3°

Réciproquement, pour toute fonction numérique g satisfaisant à ces conditions, est un écart invariant à gauche sur G.

b) Pour que la topologie $\mathscr{T}$ définie sur un groupe G par une famille saturée (IX, p. 4) d’écarts invariants à gauche ($f_i$) soit compatible avec la structure de groupe de G, il faut et il suffit que, pour tout $a \in G$, tout indice i et tout $\alpha > 0$, il existe un indice K et un $\beta > 0$ tels que la relation $f_K(e, x) \leqslant \beta$ entraîne $f_i(e, axa^{-1}) \leqslant \alpha$. Si cette condition est remplie, la structure uniforme définie sur G par la famille ($f_i$) est identique à la structure uniforme gauche du groupe topologique obtenu en munissant G de la topologie $\mathscr{T}$.

c) Sur tout groupe topologique G, il existe une famille d’écarts invariants à gauche telle que la structure uniforme définie par cette famille soit identique à la structure uniforme gauche de G.