Exercice 11, § 5

On dit qu’un espace topologique X est totalement inépuisable si tout sous-espace fermé non vide de X est inépuisable. Un espace localement compact est totalement inépuisable; un espace métrique complet est totalement inépuisable.

a) Montrer qu’un espace régulier totalement inépuisable est un espace de Baire.

b) Dans un espace accessible totalement inépuisable (I, p. 100, exerc. 1) un ensemble fermé dénombrable non vide est clairsemé, (IX, p. 111, exerc. 2), et par suite a au moins un point isolé.

c) Dans un espace totalement inépuisable X, tout sous-espace Y, intersection d’une infinité dénombrable d’ensembles ouverts dans X, est totalement inépuisable (si F est un sous-ensemble de Y, fermé par rapport à Y, et F son adhérence dans X, montrer que $\overline{Y} \cap \complement Y$ est maigre relativement à $\overline{Y}$).

d) Si tout point d’un espace topologique X possède un voisinage qui est un sous-espace totalement inépuisable, X est totalement inépuisable.