Exercice 16, § 5

a) Montrer que tout produit $X = \prod_{t \in I} Y_t$ d’espaces métriques complets est un espace de Baire. (Raisonner comme dans la démonstration du th. 1 (IX, p. 55), en prenant pour $G_n$ un ensemble élémentaire (I, p. 24) dont toutes les projections qui sont différentes de l’espace facteur tout entier ont un diamètre $\leqslant 1/n$; remarquer ensuite qu’il y a une partie dénombrable $J$ de $I$ telle que chaque $G_n$ soit de la forme $H_n \times \prod_{t \notin J} Y_t$, où $H_n \subset \prod_{t \in J} Y_t$.

b) Montrer par un exemple que si $I$ n’est pas dénombrable, $X$ n’est pas nécessairement totalement inépuisable (exerc. 11). (Utiliser IX, p. 90, exerc. 1 et IX, p. 97, 27 b)).