Exercice 31, § 5

a) On considère l’espace produit $Y = \mathbf{N}^\mathbf{N}$ des applications de $\mathbf{N}$ dans lui-même, où chaque facteur est muni de la topologie discrète; il existe une distance sur Y compatible avec la topologie de Y et pour laquelle Y est complet. Soit $X_i$ (resp. $X_s$) l’ensemble des applications injectives (resp. surjectives) de $\mathbf{N}$ dans lui-même. Montrer que $X_i$ est fermé dans Y est que $X_s$ est intersection dénombrable d’ensembles ouverts de Y. En déduire que le sous-espace $X_b = X_i \cap X_s$ des permutations de $\mathbf{N}$ est un espace de Baire.

b) Soit $(c(n))_{n \in \mathbf{N}}$ une série de nombres réels, convergente mais non absolument convergente. Pour toute permutation $x : n \mapsto x_n$ de $\mathbf{N}$, on désigne par B l’ensemble des $x \in X_b$ tels que

Montrer que l’ensemble B est maigre dans $X_b$. (Pour tout entier $k \geqslant 1$, soit $B_k$ l’ensemble des $x \in X_b$ tels que $\sup \sum_{n=0}^m c(x_n) \leqslant k$. Montrer que chacun des ensembles $B_k$ est rare dans $X_b$.)