Note historique

(N.-B. — Les chiffres romains entre parenthèses renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.)

L’histoire de la théorie du groupe multiplicatif $\mathbf{R}_+^*$ des nombres réels $> 0$ est étroitement liée à celle du développement de la notion des puissances d’un nombre $> 0$, et des notations employées pour les désigner. La conception de la « progression géométrique » formée par les puissances successives d’un même nombre remonte aux Égyptiens et aux Babyloniens; elle était familière aux mathématiciens grecs, et on trouve déjà chez Euclide (Eléments, IX, 11), un énoncé général équivalent à la règle $a^m a^n = a^{m+n}$ pour des exposants entiers $> 0$. Au Moyen Age, le mathématicien français N. Oresme (xiv\textsuperscript{e} siècle) retrouve cette règle; c’est aussi chez lui qu’apparaît pour la première fois la notion d’exposant fractionnaire $> 0$, avec une notation déjà voisine de la nôtre et des règles de calcul (énoncées de façon générale) les concernant (par exemple les deux règles que nous écrivons maintenant $(ab)^{1/n} = a^{1/n} b^{1/n}$, $(a^m)^{p/q} = (a^{mp})^{1/q}$).[^1] Mais les idées d’Oresme étaient trop en avance sur la Mathématique de son époque pour exercer une influence sur ses contemporains, et son traité sombra rapidement dans l’oubli. Un siècle plus tard, N. Chuquet énonce de nouveau la règle d’Euclide; il introduit en outre une notation exponentielle pour les puissances des inconnues de ses équations, et n’hésite pas à faire usage de l’exposant 0 et d’exposants entiers $< 0$.[^2] Cette fois (et bien que l’ouvrage de Chuquet soit resté manuscrit et ne paraisse pas avoir été très répandu), l’idée de l’isomorphie entre la « progression arithmétique » des exposants, et la « progression géométrique » des puissances, ne sera plus perdue de vue; étendue aux exposants négatifs et aux exposants fractionnaires par Stifel,[^3] elle aboutit enfin à la définition des logarithmes et à la construction des premières tables, entreprise indépendamment par l’Écossais J. Neper, en 1614–1620, et le Suisse J. Bürgi (dont l’ouvrage ne parut qu’en 1620, bien que sa conception remontât aux premières années du xvii\textsuperscript{e} siècle). Chez Bürgi, la continuité de l’isomorphisme établi entre $\mathbf{R}$ et $\mathbf{R}_+^*$ est implicitement supposée par l’emploi de l’interpolation dans le maniement des tables; elle est au contraire explicitement formulée dans la définition de

Neper (aussi explicitement du moins que le permettait la conception assez vague qu’on se faisait de la continuité à cette époque).¹

Nous n’avons pas à insister ici sur les services rendus par les logarithmes dans le Calcul numérique; du point de vue théorique, leur importance date surtout des débuts du Calcul infinitésimal, avec la découverte des développements en série de $\log(1 + x)$ et de $e^x$, et des propriétés différentielles de ces fonctions (voir FVR, Note historique des chap. I–III). En ce qui concerne la définition des exponentielles et des logarithmes, on se borna, jusqu’au milieu du xixe siècle, à admettre intuitivement la possibilité de prolonger par continuité à l’ensemble des nombres réels la fonction $a^x$ définie pour tout $x$ rationnel; et ce n’est qu’une fois la notion de nombre réel définitivement précisée et déduite de celle de nombre rationnel, qu’on songea à donner une justification rigoureuse de ce prolongement. C’est un principe de prolongement analogue, convenablement appliqué, qui est encore à la base du raisonnement par lequel nous avons établi les prop. 1 (V, p. 7) et 2 (V. p. 9), d’où découle non seulement la définition des exponentielles et des logarithmes, mais aussi, comme nous le verrons au chap. VIII, la mesure des angles.

¹ Neper considère deux points M, N mobiles simultanément sur deux droites, le mouvement de M étant uniforme, celui de N tel que la vitesse de N soit proportionnelle à son abscisse; l’abscisse de M est alors par définition le logarithme de celle de N ((II), p. 20–21).

(I) Euclidis Elementa, 5 vol., éd. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner) 1883–88. (II) J. Neper, Mirifici logarithmorum canonis constructio, Lyon, 1620.

[^1]: Cf. M. Curtze, Zeitschr. f. Math. u. Phys., t. XIII, Suppl., 1868, p. 65. [^2]: Chuquet écrit par exemple $12^1, 12^2, 12^3$, etc., pour $12x, 12x^2, 12x^3$, etc., $12^0$ pour le nombre 12, et $12^{2m}$ pour $12x^{-2}$ (Bull. bibl. storia math., t. XIII, 1880, p. 737–738). [^3]: M. Stifel, Arithmetica integra, Nuremberg, 1544, fol. 35 et 249–250.