Ghi chú lịch sử

(Các số trong ngoặc vuông chỉ dẫn tới thư mục ở cuối ghi chú này.)

Lịch sử của lý thuyết nhóm nhân $\mathbf{R}_+^*$ của các số thực $> 0$ gắn chặt với lịch sử sự phát triển của khái niệm lũy thừa của một số $> 0$ và các ký hiệu dùng để biểu diễn chúng. Ý tưởng về "cấp số nhân" do các lũy thừa liên tiếp của cùng một số tạo thành đã có từ người Ai Cập và người Babylon; các nhà toán học Hy Lạp đã quen thuộc với nó, và ngay từ Euclid [1] ta đã thấy một mệnh đề tổng quát tương đương với quy tắc $a^m a^n = a^{m+n}$ đối với các số mũ nguyên $m, n > 0$ . Trong thời Trung Cổ, nhà toán học Pháp N. Oresme (thế kỷ XIV) đã tìm lại quy tắc này. Ông là người đầu tiên nảy ra ý tưởng về một số mũ phân số $> 0$ , với một ký hiệu gần giống ký hiệu của chúng ta và với các quy tắc tính toán thích hợp của chúng ta, được phát biểu dưới dạng tổng quát; chẳng hạn, ông dùng hai quy tắc mà ngày nay ta sẽ viết là

(ab)^{1/n} = a^{1/n} b^{1/n}, \quad (a^m)^{p/q} = (a^{mp})^{1/q} \text{ [2].}

Nhưng các ý tưởng của Oresme đi trước toán học thời ông quá xa để có thể gây ảnh hưởng lên những người cùng thời, và chuyên luận của ông chẳng bao lâu chìm vào quên lãng. Một thế kỷ sau, N. Chuquet phát biểu lại quy tắc của Euclid; hơn nữa, ông đưa vào một ký hiệu mũ cho các lũy thừa của những ẩn số trong các phương trình của mình, và không ngần ngại dùng số mũ 0 cũng như các số mũ nguyên

< 0

(*). Lần này, mặc dù công trình của Chuquet vẫn còn dưới dạng bản thảo và dường như không được lưu hành rộng rãi, ý tưởng về đẳng cấu giữa "cấp số cộng" của các số mũ và "cấp số nhân" của các lũy thừa không còn bị bỏ quên; nó được Stifel [4] mở rộng sang các số mũ âm và phân số, và cuối cùng dẫn tới định nghĩa logarit và việc xây dựng các bảng đầu tiên, được người Scotland J. Napier tiến hành độc lập trong các năm 1614-1620 [5] và nhà toán học Thụy Sĩ J. Bürgi (công trình của ông chỉ xuất hiện vào năm 1620, mặc dù ý tưởng của ông đã có từ những năm đầu của thế kỷ

(*) Napier xét hai điểm M, N chuyển động đồng thời trên hai đường thẳng, chuyển động của M là đều, còn của N sao cho vận tốc của nó tỉ lệ với hoành độ của nó; khi đó, theo định nghĩa, hoành độ của M là logarit của hoành độ của N ([2], p. 20-21).

XVII). Bürgi ngầm giả thiết tính liên tục của đẳng cấu được thiết lập giữa $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}_+^*$ bằng phép nội suy trong việc sử dụng các bảng của ông; trái lại Napier diễn đạt nó một cách tường minh trong định nghĩa của mình (hoặc ít nhất tường minh đến mức khái niệm liên tục mơ hồ đang thịnh hành lúc bấy giờ cho phép) (*).

Ở đây không phải mục đích của chúng tôi là đi sâu vào những công lao mà logarit mang lại cho phép tính số; xét về mặt lý thuyết, tầm quan trọng của chúng bắt đầu từ buổi đầu của phép tính vi tích phân, với việc phát hiện ra các khai triển thành chuỗi của $\log (1 + x)$ và $e^x$ , cùng các tính chất vi phân của các hàm này. Về phương diện định nghĩa logarit và hàm mũ, người ta trực giác cho rằng, cho đến giữa thế kỷ XIX, hàm $a^x$ được xác định với mọi $x$ hữu tỉ có thể được mở rộng liên tục đến tập hợp mọi số thực; và chỉ khi khái niệm số thực đã được làm rõ dứt khoát và suy ra từ khái niệm số hữu tỉ thì người ta mới tìm kiếm một chứng minh chặt chẽ cho phép mở rộng liên tục này. Một nguyên lý mở rộng tương tự, được áp dụng thích hợp, lại nằm ở cơ sở của các chứng minh của Mệnh đề 1 và 2 của § 2; từ nó suy ra không chỉ định nghĩa của các hàm mũ và logarit, mà còn, như ta sẽ thấy trong Chương VIII, độ đo góc.

THƯ MỤC

[1] Euclidis Elementa, 5 tập, do J. L. Heiberg biên tập, Leipzig (Teubner), 1883-88. IX, II. [2] M. Curtze, Zeitschr. Math. Phys., 13, phụ trương (1868), p. 65. [3] N. Chuquet, Bull. bibl. storia math., 13 (1880), tr. 737-738. [4] M. Stifel, Arithmetica integra, Nuremberg (1544), fol. 35 và 249-250. [5] J. Napier, Mirifici logarithmorum canonis constructio, Lyon, 1620.