Exercice 1, § 4

a) Soit $(x_n, y_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ une famille de points de $\mathbf{R}^2$, tels que, pour tout $n \in \mathbf{Z}$, on ait $x_n < x_{n+1}$ et

montrer que, quels que soient les entiers $n \in \mathbf{Z}$, $m > 0, p > 0$, on a

b) Pour $a > 0$ et $x \neq 0$, on pose $f_a(x) = (a^x - 1)/x$; montrer que, pour $x < y, x \neq 0, y \neq 0$ et $a \neq 1$, on a $f_a(x) < f_a(y)$ (le démontrer d’abord pour $x, y$ entiers, au moyen de $a$), puis pour $x, y$ rationnels, et enfin en général).

c) En déduire que, quel que soit $a > 0$, la fonction $f_a(x)$, définie pour $x \neq 0$, a une limite à droite et une limite à gauche quand $x$ tend vers 0; montrer que ces deux limites ont une valeur commune $\varphi(a)$, et que $\varphi(a) \neq 0$ pour $a \neq 1$. Montrer que pour $a \neq 1$, la fonction $(\log_a x)/(x-1)$, définie pour $x \neq 1$, a pour limite $1/\varphi(a)$ quand $x$ tend vers 1.

d) Montrer que, quels que soient $a > 0, b > 0$, on a, si $a \neq 1, \varphi(b) = \varphi(a) \log_a b$; en déduire qu’il existe un nombre $e$, compris entre 2 et 4, tel que $\varphi(e) = 1$, et $\varphi(a) = \log_e a$ pour tout $a > 0$.