Bài tập 1, § 4

(a) Cho $(x_n, y_n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là một họ các điểm của $\mathbf{R}^2$ sao cho với mọi $n \in \mathbf{Z}$ ta có $x_n < x_{n+1}$ và

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $n \in \mathbf{Z}, m > 0, p > 0$, ta có

(b) Nếu $a > 0$ và $x \neq 0$, đặt

Chứng minh rằng, nếu $x < y, x \neq 0, y \neq 0$ và $a \neq 1$, ta có $f_a(x) < f_a(y)$ [chứng minh trước quan hệ này đối với $x, y$ nguyên, bằng cách dùng $a$], sau đó đối với $x, y$ hữu tỉ, và cuối cùng trong trường hợp tổng quát].

(c) Suy ra rằng, với mọi $a > 0$, hàm $f_a(x)$, xác định với $x \neq 0$, có một giới hạn bên phải và một giới hạn bên trái khi $x \to 0$; chứng minh rằng hai giới hạn này có một giá trị chung $\varphi(a)$, và rằng $\varphi(a) \neq 0$ nếu $a \neq 1$. Chứng minh rằng nếu $a \neq 1$, hàm $\log_a x/x - 1$, xác định với $x \neq 1$, tiến tới giới hạn $1/\varphi(a)$ khi $x \to 1$.

(d) Chứng minh rằng, với mọi $a > 0$ và $b > 0$, ta có $\varphi(b) = \varphi(a) \log_a b$ (nếu $a \neq 1$). Suy ra rằng tồn tại một số $e$ nằm giữa 2 và 4 sao cho $\varphi(e) = 1$, và rằng $\varphi(a) = \log_e a$ với mọi $a > 0$.