Exercice 3, § 4

Soit $f$ une application croissante de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{R}$, telle que $f(mn) = f(m) + f(n)$ pour tout couple d’entiers étrangers. a) Pour tout entier $a > 1$, et tout entier $k > 0$, on pose

Montrer que l’on a $f(R_k(a)) \geq k f(a), f(S_k(a)) \leq k f(a)$. b) Déduire de a) que pour tout entier $n > 1$, on a (considérer l’entier $r \geq 0$ tel que $a^r < n \leq a^{r+1}$). c) Conclure qu’il existe une constante $c \geq 0$ telle que $f(n) = c \log n$ pour $n \geq 1$. (Observer que $a$ et $n$ sont arbitraires dans b), et en déduire que $f(a)/\log a$ est constante).