Bài tập 3, § 4

Cho $f$ là một ánh xạ không giảm từ $\mathbf{N}$ vào $\mathbf{R}$, sao cho $f(mn) = f(m) + f(n)$ với mọi cặp số nguyên nguyên tố cùng nhau. a) Với mọi số nguyên $a > 1$, và mọi số nguyên $k > 0$, đặt

Chứng minh rằng ta có $f(R_k(a)) \geq k f(a), f(S_k(a)) \leq k f(a)$. b) Suy ra từ a) rằng với mọi số nguyên $n > 1$, ta có (xét số nguyên $r \geq 0$ sao cho $a^r < n \leq a^{r+1}$). c) Kết luận rằng tồn tại một hằng $c \geq 0$ sao cho $f(n) = c \log n$ với $n \geq 1$. (Nhận xét rằng $a$ và $n$ là tùy ý trong b), và suy ra rằng $f(a)/\log a$ là hằng).