Exercice 2, § 3

Soit $(\mathbf{x}_m)_{m \in \mathbf{N}}$ une suite infinie de points de $\mathbf{R}^n$ telle que $\lim_{m \to \infty} \mathbf{x}_m = 0$. Pour toute partie finie $H$ de $\mathbf{N}$, on pose $s_H = \sum_{m \in H} \mathbf{x}_m$. Montrer que deux cas peuvent se présenter: 1° Ou bien $\lim_{\mathfrak{F}} \| s_H \| = +\infty$, $\mathfrak{F}$ étant l’ensemble filtrant croissant des parties finies de $\mathbf{N}$. 2° Ou bien il existe des permutations $\sigma$ de $\mathbf{N}$ telles que la série de terme général $\mathbf{x}_{\sigma(m)}$ soit convergente dans $\mathbf{R}^n$; dans ce cas l’ensemble $A$ des sommes $\sum_{m=0}^\infty \mathbf{x}_{\sigma(m)}$ de ces séries, pour toutes les permutations $\sigma$ de cette nature, est une variété linéaire affine de $\mathbf{R}^n$. (Montrer d’abord, à l’aide de l’exerc. 1 b), que toute valeur d’adhérence, suivant l’ensemble filtrant $\mathfrak{F}$, de l’application $H \mapsto s_H$, est somme d’une série convergente $(\mathbf{x}_{\sigma(m)})$ pour une permutation convenable $\sigma$. Utiliser III, p. 79, exerc. 3, pour prouver que l’ensemble $A$, s’il est non vide, est une classe suivant un sous-groupe fermé de $\mathbf{R}^n$. Montrer enfin que $A$ est connexe, en utilisant l’exerc. 1 c), ainsi que II, p. 38, exerc. 15).