Exercice 1, § 3

Pour toute suite finie $s = (z_k)_{k \in I}$ de nombres complexes, on pose (cf. VII, p. 16, prop. 2)

a) *Si $z_k = r_k (\cos \varphi_k + i \sin \varphi_k)$, où $r_k = |z_k|$, et où $\varphi_k$ est la mesure principale en radians de l’amplitude de $z_k$, on pose, pour tout $\varphi$ tel que $0 \leq \varphi < 2\pi$,

Montrer que la borne supérieure de $f(\varphi)$ dans l’intervalle $[0, 2\pi[$ est égale à $\sup_{J \subset I} \left| \sum_{k \in J} z_k \right|$.

En considérant l’intégrale $\int_0^{2\pi} f(\varphi) \, d\varphi$, en déduire que, pour toute suite finie $s$, on a $\rho_s \leq \pi$, et qu’il n’existe aucune suite finie $(z_k) = s$ telle que $\rho_s = \pi$.

b) Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une suite finie $(z_k) = s$ telle que $\rho_s > \pi - \varepsilon$ (prendre pour les $z_k$ les racines d’une équation binôme de degré assez grand).*