Bài tập 1, § 3

Với mọi dãy hữu hạn $s = (z_k)_{k \in I}$ các số phức, đặt

(xem Chương VII, § 3, no. 1, Mệnh đề 2).

a) \* Nếu $z_k = r_k (\cos \varphi_k + i \sin \varphi_k)$, trong đó $r_k = |z_k|$ và $\varphi_k$ là số đo radian chính của biên độ của $z_k$, đặt

với mọi $\varphi \in [0, 2\pi[$. Chứng minh rằng cận trên của $f(\varphi)$ trong khoảng $[0, 2\pi[$ bằng $\sup_{J \subset I} \left| \sum_{k \in J} z_k \right|$. Bằng cách xét tích phân suy ra rằng với mọi dãy hữu hạn $s$ ta có $\rho_s \leq \pi$, và không tồn tại dãy hữu hạn $(z_k) = s$ sao cho $\rho_s = \pi$.

b) Chứng minh rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một dãy hữu hạn $(z_k) = s$ sao cho $\rho_s > \pi - \varepsilon$ (lấy các $z_k$ là các nghiệm của một phương trình nhị thức có bậc đủ lớn). \*