Exercice 2, § 3

Soit $(z_n)$ une suite infinie de nombres complexes $z_n = x_n + iy_n$, telle que $x_n \geq 0$ pour tout $n$. Montrer que si les séries de terme général $z_n$ et $z_n^2$ sont convergentes, la série de terme général $z_n^2$ est absolument convergente. Donner un exemple où ce résultat tombe en défaut quand on remplace la condition $x_n \geq 0$ (qui s’écrit aussi $-\pi/2 \leq \mathrm{Am}(z_n) \leq \pi/2$) par

quelque petit que soit le nombre $\varepsilon > 0$ ($\mathrm{Am}(z)$ désigne la mesure en radians de l’amplitude de $z_n$, appartenant à l’intervalle $]-\pi, +\pi[$).