Bài tập 2, § 3

Cho $(z_n)$ là một dãy vô hạn các số phức $z_n = x_n + i y_n$ sao cho $x_n \geq 0$ với mọi $n$. Chứng minh rằng nếu các chuỗi có các số hạng tổng quát là $z_n$ và $z_n^2$ đều hội tụ, thì chuỗi có số hạng tổng quát là $z_n^2$ hội tụ tuyệt đối. Hãy cho một ví dụ trong đó kết quả này là sai khi điều kiện $x_n \geq 0$ (cũng có thể viết là $-\pi/2 \leq \operatorname{Am}(z_n) \leq \pi/2$) được thay thế bởi

dù cho số thực $\varepsilon > 0$ có thể nhỏ đến đâu. (Ở đây $\operatorname{Am}(z)$ biểu thị số đo radian của biên độ của $z_n$ thuộc khoảng $]-\pi, +\pi]$.)