Exercice 5, § 3

Soit $(z_n)$ une suite infinie de nombres complexes $\neq 0$ telle que $\lim_{n \to \infty} z_n = 1$. Montrer que, s’il existe des permutations $\sigma$ de $\mathbf{N}$ telles que le produit infini de facteur général $z_{\sigma(n)}$ soit convergent, l’ensemble des produits $\prod_{n=0}^\infty z_{\sigma(n)}$ correspondant à toutes ces permutations est, soit réduit à un point, soit le groupe $\mathbf{C}^*$ tout entier, soit une demi-droite ouverte d’origine 0, soit un cercle de centre 0, soit enfin une « spirale logarithmique », image de $\mathbf{R}$ par l’application $t \mapsto a^{t-t_0} (\cos t + i \sin t)$ (où $a$ est un nombre $> 0$ et $\neq 1$) (raisonner comme dans l’exerc. 2 de VII, p. 25, en utilisant le fait que le groupe multiplicatif $\mathbf{C}^*$ est isomorphe au groupe additif $\mathbf{R} \times \mathbf{T}$.