Bài tập 5, § 3

Cho $(z_n)$ là một dãy vô hạn các số phức khác không sao cho $\lim_{n \to \infty} z_n = 1$. Chứng minh rằng, nếu tồn tại các phép hoán vị $\sigma$ của $\mathbf{N}$ sao cho tích vô hạn mà nhân tử tổng quát là $z_{\sigma(n)}$ hội tụ, thì tập hợp các tích

tương ứng với tất cả các phép hoán vị này có thể là (i) một điểm duy nhất; hoặc (ii) toàn bộ nhóm $\mathbf{C}^*$; hoặc (iii) một tia mở có gốc o; hoặc (iv) một đường tròn có tâm o; hoặc (v) một "đường xoắn lôgarit", ảnh của $\mathbf{R}$ qua ánh xạ $t \to a^{t-t_0} (\cos t + i \sin t)$, trong đó $a$ là một số thực > 0 và $\neq 1$. (Lập luận như trong Bài tập 2 của Chương VII, § 3, sử dụng sự kiện rằng nhóm nhân $\mathbf{C}^*$ đẳng cấu với nhóm cộng $\mathbf{R} \times \mathbf{T}$.)