Exercice 6, § 3

Soit $(a_j)_{1 \leq j \leq n}$ une suite finie de nombres complexes tels que $|a_j| > 1$ pour tout $j$. Pour chacune des $2^n$ suites $s = (\varepsilon_j)_{1 \leq j \leq n}$ où $\varepsilon_j = 1$ ou $\varepsilon_j = -1$, on pose $x_s = \sum_{j=1}^n \varepsilon_j a_j$. Soit K un disque fermé de centre quelconque et de rayon 1 dans $\mathbf{C}$. Montrer que le nombre de suites $s$ telles que $x_s \in K$ est $\leq \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$. (Soient S l’ensemble $\{1, 2, \ldots, n\}$, T l’ensemble des $j \in S$ tels que $\Re(a_j)$ et $\Im(a_j)$ soient tous deux $\geq 0$ ou tous deux $\leq 0$. Pour tout $s = (\varepsilon_j)$, soit $U_s \subset S$ l’ensemble des $j$ tels que $\Re(\varepsilon_j a_j) > 0$, et soit $X \subset \mathscr{P}(S)$ l’ensemble des $U_s$ tels que $x_s \in K$. Montrer qu’il n’est pas possible que pour deux suites distinctes $s, s'$, on ait $U_s \in X$, $U_{s'} \in X$, $U_s \subset U_{s'}$ et $U_{s'} - U_s \subset T$ ou $U_{s'} - U_s \subset S - T$. Appliquer ensuite l’exerc. 13 de E, III, p. 85.)