Bài tập 6, § 3

Cho $(a_j)_{1 \leq j \leq n}$ là một dãy hữu hạn các số phức sao cho $|a_j| > 1$ với mọi $j$. Với mỗi trong số $2^n$ dãy $s = (\varepsilon_j)_{1 \leq j \leq n}$ trong đó $\varepsilon_j = 1$ hoặc $\varepsilon_j = -1$, đặt $x_s = \sum_{j=1}^n \varepsilon_j a_j$. Cho K là một đĩa đóng có tâm tùy ý và bán kính 1 trong $\mathbf{C}$. Chứng minh rằng số các dãy $s$ sao cho $x_s \in K$ là $\leq \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$. (Cho S là tập hợp $\{1, 2, \ldots, n\}$, T là tập hợp các $j \in S$ sao cho $\Re(a_j)$ và $\Im(a_j)$ đồng thời $\geq 0$ hoặc đồng thời $\leq 0$. Với mỗi $s = (\varepsilon_j)$, cho $U_s \subset S$ là tập hợp các $j$ sao cho $\Re(\varepsilon_j a_j) > 0$, và cho $X \subset \mathscr{P}(S)$ là tập hợp các $U_s$ sao cho $x_s \in K$. Chứng minh rằng không thể xảy ra rằng đối với hai dãy phân biệt $s, s'$, ta có $U_s \in X$, $U_{s'} \in X$, $U_s \subset U_{s'}$ và $U_{s'} - U_s \subset T$ hoặc $U_{s'} - U_s \subset S - T$. Áp dụng khi đó Bài tập 13 của E, III, p. 85.)