§ 4. Espaces numériques et espaces projectifs complexes

1. L’espace vectoriel $\mathbf{C}^n$

Le groupe topologique produit $\mathbf{C}^n$ de $n$ groupes égaux au groupe topologique $\mathbf{C}$ peut être identifié au groupe topologique $\mathbf{R}^{2n}$ par la bijection qui associe à l’élément $\mathbf{z} = (z_1, \ldots, z_n)$ de $\mathbf{C}^n$ l’élément $(\mathscr{R}(z_1), \mathscr{I}(z_1), \ldots, \mathscr{R}(z_n), \mathscr{I}(z_n))$ de $\mathbf{R}^{2n}$.

Mais, comme $\mathbf{C}$ est un corps, on peut définir sur $\mathbf{C}^n$ une structure d’espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbf{C}$, le produit $az$ d’un nombre complexe $a$ et d’un point $\mathbf{z} = (z_i)$ de $\mathbf{C}^n$ étant le point $(az_i)$; il faut avoir soin de ne pas confondre cette structure et celle d’espace vectoriel de dimension $2n$ par rapport à $\mathbf{R}$, définie sur $\mathbf{R}^{2n}$ (VI, p. 2); on réservera la notation $\mathbf{C}^n$ à l’espace topologique produit de $n$ espaces identiques à $\mathbf{C}$, muni en outre de la structure d’espace vectoriel par rapport à $\mathbf{C}$ qui vient d’être définie; on le désignera sous le nom d’espace numérique complexe à $n$ dimensions. On notera que l’application $(t, \mathbf{z}) \mapsto t\mathbf{z}$ est continue dans $\mathbf{C} \times \mathbf{C}^n$.

Une application linéaire affine de $\mathbf{C}^n$ dans $\mathbf{C}^m$ est aussi une application linéaire affine de $\mathbf{R}^{2n}$ dans $\mathbf{R}^{2m}$, mais la réciproque n’est pas vraie.

Par exemple, l’application $z \mapsto \bar{z}$ est une application linéaire de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^2$ sur lui-même, mais non une application linéaire de l’espace vectoriel $\mathbf{C}$ sur lui-même.

Toute application linéaire affine de $\mathbf{C}^n$ dans $\mathbf{C}^m$ est donc uniformément continue ; en particulier, toute application linéaire affine de $\mathbf{C}^n$ sur lui-même est un homéomorphisme.

Toute variété linéaire affine à $p$ dimensions ($p \leq n$) de l’espace vectoriel $\mathbf{C}^n$ est aussi une variété linéaire affine à $2p$ dimensions de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^{2n}$; ici encore, la réciproque est inexacte. Pour éviter toute confusion, on désigne les variétés linéaires (affines) à $p$ dimensions de $\mathbf{C}^n$ sous le nom de variétés linéaires complexes à $p$ dimensions (les variétés linéaires de $\mathbf{R}^{2n}$ étant appelées variétés linéaires réelles quand on veut se garder de toute méprise). En particulier, on appellera droites complexes (resp. plans complexes) les variétés linéaires complexes à 1 dimension (resp. à 2 dimensions) de $\mathbf{C}^n$, hyperplans complexes les variétés linéaires complexes à $n - 1$ dimensions.

Il est souvent commode de considérer l’espace numérique $\mathbf{R}^n$ comme plongé dans l’espace numérique complexe $\mathbf{C}^n$, en l’identifiant à la partie de $\mathbf{C}^n$ définie par les relations $\mathscr{J}(z_k) = 0$ ($k = 1, 2, \ldots, n$), dont la structure de groupe topologique (induite par celle de $\mathbf{C}^n$) est isomorphe à celle de $\mathbf{R}^n$.

On notera que $\mathbf{R}^n$, ainsi plongé dans $\mathbf{C}^n$, n’est pas une variété linéaire complexe de $\mathbf{C}^n$.

Un système de $p$ vecteurs de $\mathbf{R}^n$, libre par rapport au corps $\mathbf{R}$, est encore libre par rapport au corps $\mathbf{C}$; toute variété linéaire réelle $V$ à $p$ dimensions de $\mathbf{R}^n$ engendre, dans $\mathbf{C}^n$, une variété linéaire complexe à $p$ dimensions $V'$, dont elle est la trace sur $\mathbf{R}^n$ (A, II, p. 120); si $V$ est définie par un système de $n - p$ équations linéaires $f_k(\mathbf{x}) = a_k$, où les $f_k$ sont des formes linéaires sur $\mathbf{R}^n$ (à coefficients réels, et linéairement indépendantes) et les $a_k$ des nombres réels, les mêmes équations, mais où l’on donne aux coordonnées de $\mathbf{x}$ des valeurs complexes, définissent $V'$.

Inversement, lorsqu’une variété linéaire complexe à $p$ dimensions a une intersection non vide avec $\mathbf{R}^n$, cette intersection est une variété linéaire réelle; mais la dimension de cette variété peut être $< p$.

2. Topologie des espaces vectoriels et des algèbres sur le corps $\mathbf{C}$

Toutes les définitions et tous les résultats des nos 5 et 6 du chap. VI, § 1, relatifs aux topologies des espaces vectoriels et des algèbres sur le corps $\mathbf{R}$, et en particulier des espaces et algèbres de matrices à éléments dans $\mathbf{R}$, sont valables sans aucune modification quand on remplace partout $\mathbf{R}$ par $\mathbf{C}$.

3. Espaces projectifs complexes

Avec les notations rappelées dans VI, p. 13, on pose la définition suivante, analogue à la définition des espaces projectifs réels:

L’espace projectif $P_1(\mathbf{C})$ s’appelle droite projective complexe, l’espace projectif $P_2(\mathbf{C})$ plan projectif complexe.

Dans toute question où interviennent les espaces projectifs complexes, à l’exclusion des espaces projectifs réels, on écrit encore $P_n$ au lieu de $P_n(\mathbf{C})$.

La plupart des raisonnements relatifs aux espaces projectifs réels s’étendent avec de très légères modifications aux espaces projectifs complexes.

En premier lieu, on voit que l’espace topologique $P_n(\mathbf{C})$ est séparé, par le raisonnement de la prop. 1 de VI, p. 13, qui se transpose tel quel en remplaçant simplement $\mathbf{R}$ par $\mathbf{C}$. De même, le raisonnement de la prop. 2 de VI, p. 13, montre que $P_n(\mathbf{C})$ est compact et connexe, et homéomorphe à l’espace quotient de la sphère $S_{2n+1}$ (considérée comme plongée dans l’espace $\mathbf{C}_{n+1}^*$, identifié à $\mathbf{R}_{2n+2}^*$) par la relation d’équivalence induite sur cette sphère par $\Delta_n(\mathbf{C})$; on notera seulement que, si $n \geqslant 0$, les classes d’équivalence pour cette relation sont ici des ensembles homéomorphes au cercle $S_1$.

C’est pour cette raison que la prop. 3 de VI, p. 14, n’a pas d’analogue pour les espaces projectifs complexes.

On montre ensuite, comme dans VI, p. 15, que toute variété linéaire projective à $p$ dimensions de l’espace $P_n(\mathbf{C})$ est un ensemble fermé, homéomorphe à $P_p(\mathbf{C})$, et dont le complémentaire est partout dense si $p < n$. Le raisonnement de la prop. 5 de VI, p. 15, se transpose sans aucune modification par simple substitution de $\mathbf{C}$ à $\mathbf{R}$, et prouve que, dans $P_n(\mathbf{C})$ (pour $n \geqslant 0$), le complémentaire d’un hyperplan projectif est homéomorphe à $\mathbf{C}^n$, et par suite que tout point a un voisinage homéomorphe à $\mathbf{C}^n$. Cela permet de plonger l’espace numérique complexe $\mathbf{C}^n$ dans l’espace projectif complexe $P_n(\mathbf{C})$, en l’identifiant avec le complémentaire d’un hyperplan projectif, dit « hyperplan à l’infini » (le plus souvent, l’hyperplan d’équation $x_0 = 0$). Dans le cas particulier où $n = 1$, l’hyperplan à l’infini est un point; le th. d’Alexandroff montre alors que $P_1(\mathbf{C})$ est homéomorphe à l’espace $\tilde{\mathbf{C}}$ obtenu en rendant compact l’espace localement compact $\mathbf{C}$ par adjonction d’un « point à l’infini » noté $\infty$; le cor. 1 de VI, p. 11 prouve alors que la droite projective complexe $P_1(\mathbf{C})$ est homéomorphe à la sphère $S_2$.

Nous laissons au lecteur le soin d’énoncer les résultats analogues à ceux de VI, § 3, n° 4, pour les fonctions prenant leurs valeurs dans $\mathbf{C}$.

Considérons l’espace $\mathbf{R}^{n+1}$ comme plongé dans $\mathbf{C}^{n+1}$ (VIII, p. 19). Soit $f$ l’application canonique de $\mathbf{C}_{n+1}^*$ sur l’espace quotient $P_n(\mathbf{C})$. Le sous-espace $f(\mathbf{R}_{n+1}^*)$ se compose des points de $P_n(\mathbf{C})$ qui admettent au moins un système de coordonnées homogènes réelles; montrons que $f(\mathbf{R}_{n+1}^*)$ est homéomorphe à l’espace projectif réel $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$, ce qui permet, en l’identifiant à ce dernier, de considérer l’espace $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ comme plongé dans $\mathbf{P}_n(\mathbf{C})$. Or, la relation induite par $\Delta_n(\mathbf{C})$ sur $\mathbf{R}_{n+1}^*$ n’est autre que $\Delta_n(\mathbf{R})$; l’application canonique $\varphi$ de $\mathbf{R}_{n+1}^*/\Delta_n(\mathbf{R}) = \mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ sur $f(\mathbf{R}_{n+1}^*)$ est continue (I, p. 23, prop. 10); comme $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ est compact, $\varphi$ est un homéomorphisme (I, p. 63, cor. 2).

On peut aussi démontrer que $\varphi$ est bicontinue sans utiliser la compacité de $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$, en se servant du critère de la prop. 10 de I, p. 23 (voir VIII, p. 28, exerc. 3).

Comme tout sous-espace vectoriel à $p + 1$ dimensions de $\mathbf{R}^{n+1}$ engendre, dans $\mathbf{C}^{n+1}$, un sous-espace vectoriel complexe à $p + 1$ dimensions, on voit que toute variété linéaire projective $V$ à dimensions de $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ (dite variété linéaire projective réelle) engendre dans $\mathbf{P}_n(\mathbf{C})$ une variété linéaire projective $V'$ à $p$ dimensions (dite variété linéaire projective complexe), dont elle est la trace sur $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$; en outre, tout système d’équations (homogènes) de $V$ est un système d’équations (homogènes) de $V'$, en donnant aux variables des valeurs complexes.

4. Espaces de variétés linéaires projectives complexes

Avec les notations rappelées dans VI, p. 17, on définit de même les espaces de variétés linéaires projectives d’un espace projectif complexe:

La démonstration de la prop. 6 de VI, p. 18 se transpose sans modification pour l’espace $\mathbf{P}_{n,p}(\mathbf{C})$ et montre que cet espace est connexe, localement connexe, et que chacun de ses points possède un voisinage homéomorphe à $\mathbf{C}^{(p+1)(n-p)}$. On démontre ensuite que $\mathbf{P}_{n,p}(\mathbf{C})$ est compact, en remplaçant, dans la démonstration de la prop. 7 de VI, p. 19, le sous-espace $V_{n+1,p+1}$ par le sous-espace $W_{n+1,p+1}$ de $\mathbf{L}_{n+1,p+1}(\mathbf{C})$ formé des systèmes de $p + 1$ vecteurs formant une base hermitienne orthonormale du sous-espace vectoriel qu’elles engendrent (A, IX, § 6, n° 1): il revient au même de dire que $W_{n+1,p+1}$ se compose des matrices $X = (x_{ij})$ satisfaisant aux conditions

Enfin, le raisonnement de la prop. 8 de VI, p. 20 est aussi applicable sans modification, et on voit donc que la grassmannienne $G_{n+1,p+1}(\mathbf{C})$ est homomorphe à $\mathbf{P}_{n,p}(\mathbf{C})$.

5. Continuité des racines d’un polynôme

Soient $K$ un corps commutatif et $n$ un entier $\geqslant 0$; notons $K[X]_n$ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $K$ et de degré $\leqslant n$. Soit $q$ l’application canonique de $K[X]_n - \{0\}$ sur l’espace projectif $P(K[X]_n)$ déduit de $K[X]_n$; la restriction de $q$ à l’ensemble des polynômes unitaires appartenant à $K[X]_n$ est bijective.

D’autre part, le groupe symétrique $S_n$ opère sur l’ensemble $P_1(K)^n$, produit de $n$ espaces égaux à $P_1(K)$, par permutation des facteurs. Notons $\Sigma_n(K)$ l’ensemble $P_1(K)^n / S_n$ des orbites de $S_n$ dans $P_1(K)^n$ (« puissance symétrique $n$-ième » de $P_1(K)$).

L’application de $(K^2 - \{0\})^n$ dans $K[X]_n - \{0\}$, qui associe à l’élément $((a_1, b_1), \ldots, (a_n, b_n))$ le polynôme $(b_1 X - a_1) \ldots (b_n X - a_n)$, définit par passage aux quotients une application de $P_1(K)^n$ dans $P(K[X]_n)$; cette application est constante sur chaque orbite de $S_n$ dans $P_1(K)^n$, donc définit par passage au quotient une application $f$ de $\Sigma_n(K)$ dans $P(K[X]_n)$. Soit $\xi \in \Sigma_n(K)$; il existe une suite $a_1, \ldots, a_p$, avec $p \leqslant n$, d’éléments de $K$ telle que $\xi$ soit l’image canonique de l’élément $(a_1, \ldots, a_p, \infty, \ldots, \infty)$ de $P_1(K)^n$; on a alors $f(\xi) = q(P)$, où $P$ est le polynôme unitaire $(X - a_1) \ldots (X - a_p)$. Il en résulte que l’application $f$ est injective, et qu’elle est bijective lorsque $K$ est algébriquement clos.

Supposons maintenant $K = \mathbf{C}$. Munissons $P_1(\mathbf{C})^n$ et $P(\mathbf{C}[X]_n)$ des topologies définies ci-dessus (VIII, p. 20 et VI, p. 14) et $\Sigma_n(\mathbf{C})$ de la topologie quotient de celle de $P_1(\mathbf{C})^n$.

Exercices

See the exercises for § 4.