Exercice 30, § 3

Soient X, Y deux espaces topologiques tel que Y soit régulier. On dit qu’un ensemble H d’applications continues de X dans Y est localement équicontinu au couple $(x, y) \in X \times Y$ si, pour tout voisinage V de y dans Y, il existe un voisinage U de x dans X et un voisinage W de y dans Y tels que les relations $f \in H, f(x) \in W$ entraînent $f(U) \subset V$.

a) Montrer que si $H \subset \mathscr{C}(X; Y)$ est localement équicontinu en tous les couples

l’adhérence $\overline{H}$ de H dans $\mathscr{F}_s(X; Y)$ est formée de fonctions continues, est égale à l’adhérence de H dans $\mathscr{C}(X; Y)$ pour la topologie de la convergence compacte et est localement équi-continue en tout couple $(x, y) \in X \times Y$. Si $\overline{H}$ est compact pour la topologie de la convergence simple, la topologie induite sur H par la topologie de la convergence simple est la même que la topologie induite par la topologie de la convergence compacte.

b) Montrer que, pour que H soit relativement compact dans $\mathscr{C}(X; Y)$ pour la topologie de la convergence compacte, il suffit que $H(x)$ soit relativement compact dans Y pour tout $x \in X$, et que H soit localement équicontinu en tout couple $(x, y)$ (utiliser a)); la réciproque est vraie si X est localement compact.