Exercice 23, § 4

a) Soient $X$ un espace compact, $A$ une algèbre de rang fini sur le corps $\mathbf{R}$, admettant un élément unité, et munie de la topologie définie dans VI, p. 5. Soit $B$ une sous-algèbre de la $\mathbf{R}$-algèbre $C(X; A)$; on suppose que pour tout $\varepsilon > 0$, tout couple de points distincts $x, y$ de $X$ et tout couple d’éléments $u, v$ de $A$, il existe $f \in B$ telle que $\| f(x) - u \| \leq \varepsilon$ et $\| f(y) - v \| \leq \varepsilon (\| z \|$ étant une norme quelconque définissant la topologie de $A$); on suppose en outre que si $u$ et $v$ appartiennent à $\mathbf{R}$, il y a une fonction $f \in B$ vérifiant les conditions précédentes et prenant ses valeurs dans $\mathbf{R}$. Dans ces conditions, montrer que $B$ est dense dans $C(X; A)$ pour la topologie de la convergence uniforme. (Prouver d’abord que toute fonction de $C(X; \mathbf{R})$ peut être approchée uniformément par des fonctions de $B$, puis qu’il est de même de toute constante $a \in A$, en utilisant l’hypothèse et une partition de l’unité).

b) On prend $A = \mathbf{H}$, corps des quaternions sur $\mathbf{R}$. Soit $B$ une sous-algèbre de la $\mathbf{R}$-algèbre $C(X; \mathbf{H})$ telle que: 1° pour toute fonction $f \in B$, la conjuguée $\bar{f}$ de $f$ (définie par $\bar{f}(x) = f(\bar{x})$ pour tout $x \in X$) appartient à $B$; 2° pour tout $\varepsilon > 0$, tout couple de points distincts $x, y$ de $X$ et tout couple d’éléments $u, v$ de $\mathbf{H}$, il existe $f \in B$ telle que $\| f(x) - u \| \leq \varepsilon$ et $\| f(y) - v \| \leq \varepsilon$. Montrer que $B$ est partout dense dans $C(X; \mathbf{H})$ (utiliser $a$).

c) Étendre à l’algèbre $C(X; \mathbf{H})$ les résultats de $X$, p. 57, exerc. 13, et montrer en particulier que tout idéal fermé de cette algèbre est bilatère (raisonner comme dans l’exerc. 22 en utilisant $b$).