Exercice 25, § 4

Soit $X$ un espace localement compact; on appelle topologie stricte sur l’espace vectoriel $C^b(X; \mathbf{R})$ des fonctions numériques continues et bornées la topologie définie par la famille d’écarts $d_\varphi(f, g) = \sup_{x \in X} \varphi(x)|f(x) - g(x)|$, où $\varphi$ est une fonction numérique continue, $\geq 0$ et tendant vers 0 au point à l’infini.

a) Montrer que pour la structure uniforme définie par ces écarts, $C^b(X; \mathbf{R})$ est complet et que la topologie stricte est compatible avec la structure d’algèbre sur $\mathbf{R}$.

b) Montrer que si $A$ est une sous-algèbre fermée de $C^b(X; \mathbf{R})$ pour la topologie stricte, séparant les points de $X$, et telle que, pour tout $x \in X$, il existe $f \in A$ telle que $f(x) \neq 0$, alors $A = C^b(X; \mathbf{R})$.