Exercice 4, § 2

Soit $n\geqslant 1$ un entier. On note $S(n)$ le plus grand entier $k\geqslant 0$ tel que, pour tout ensemble X de $n$ nombres réels, il existe un sous-ensemble $Y\subset X$ de cardinal $k$ tel que l’équation $x+y=z$ n’admette aucune solution dans Y. On a donc $S(n)\leqslant n$.

a) Montrer que la limite

$\sigma =$ lim$_{n\rightarrow+\infty}\frac{S(n)}{n}$

existe.

b) Montrer que $\sigma \leqslant 2/5$.

c) Montrer que $\sigma \geqslant 1/3$.

(On peut montrer que $\sigma = 1/3$, cf. S. Eberhard, B. Green, F. Manners, Sets of integers with no large sum-free subset, Annals of Mathematics 180 (2014), 621–652.)