Si l’algèbre A est unifère, les applications $x\mapsto \|\boldsymbol{\gamma }_x\|$ et $x\mapsto \|\boldsymbol{\delta }_x\|$ sont des normes sur A, définissant la topologie de A. Elles vérifient l’inégalité (1).

Si l’algèbre normée unifère A est non nulle, c’est-à-dire si $e\not= 0$, on a aussi $\|\boldsymbol{\gamma }_e\|=\|\boldsymbol{\delta }_e\|= 1$.

Il est immédiat que $\|\boldsymbol{\gamma }_x\|\leqslant \|x\|$ et que $\|\boldsymbol{\delta }_x\|\leqslant \|x\|$.

Si A possède un élément unité $e$, alors on a $x=\boldsymbol{\gamma }_xe=\boldsymbol{\delta }_xe$, donc : (2) $\|x\|\leqslant \|\boldsymbol{\gamma }_x\| \cdot \|e\|\|x\|\leqslant \|\boldsymbol{\delta }_x\| \cdot \|e\|$.

Dans ce cas, $x\mapsto \|\boldsymbol{\gamma }_x\|$ et $x\mapsto \|\boldsymbol{\delta }_x\|$ sont donc des normes équivalentes à la norme de A. Elles vérifient (1) car $\boldsymbol{\gamma }$ et $\boldsymbol{\delta }$ sont des représentations.

La dernière assertion provient du fait que $\boldsymbol{\gamma }_e=\boldsymbol{\delta }_e=$ Id$_A$.

lim$_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{n}=$ inf$_{n\geqslant 1}\frac{a_n}{n}$.

Posons $a_0= 0$ ; l’inégalité $a_{n+m}\leqslant a_n+a_m$ reste valide pour tout $n\geqslant$ 0 et tout $m\geqslant 0$. Fixons un entier $m\geqslant$ 1. Pour tout entier $n\geqslant 1$, soient $q(n)$ et $r(n)$ les entiers tels que $n=q(n)m+r(n)$ et $0\leqslant r(n)< m$ (E, III, p. 39, th. 1). L’hypothèse implique alors

Faisant tendre $n$ vers $+\infty$, on en déduit que lim sup$_n(a_n/n)\leqslant a_m/m$ puisque $q(n)/n\rightarrow 1/m$. Puisque cela vaut pour tout $m\geqslant 1$, on a donc

lim sup$_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{n}\leqslant$ inf$_{m\geqslant 1}\frac{a_m}{m}\leqslant$ lim inf$_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{n}$.

Ces inégalités démontrent la convergence de la suite $(a_n/n)_{n\geqslant 1}$ ainsi que la formule lim $a_n/n=$ inf$_{n\geqslant 1}a_n/n$.

$\varrho (x) =$ lim$_{n\rightarrow+\infty}\|x^n\|^{1/n}_1=$ inf$_{n\geqslant 1}\|x^n\|^{1/n}_1$.

Si $x$ est nilpotent, on a $\|x^n\|^{1/n}_1= 0$ pour tout entier $n$ suffisamment grand et toute norme $x\mapsto \|x\|_1$ définissant la topologie de A.

Supposons maintenant que $x$ n’est pas nilpotent, et posons $\alpha_n=$ $\|x^n\|$. On a $\alpha_n>0$ pour tout entier $n\geqslant 1$, et $\alpha_{n+m}\leqslant \alpha_n\alpha_m$ pour tous $n, m\in \mathbf{N}$ d’après (1). Le lemme 2, appliqué à la suite $a_n=$ log($\alpha_n$), montre l’existence de la limite $\varrho (x)$ et la formule $\varrho (x) =$ inf$_{n>0}\alpha_n^{1/n}$.

Soit $x\mapsto \|x\|_1$ une norme définissant la topologie de A. Il existe des nombres réels $a >0$ et $b >0$ tels que

pour tout $x\in A$ (EVT, II, p. 7, cor. 2). Par conséquent,

pour tout $n\geqslant 1$, d’où en passant à la limite, ou en prenant la borne inférieure, l’égalité

$\varrho (x) =$ lim$_{n\rightarrow+\infty}\|x^n\|^{1/n}_1=$ inf$_{n>0}\|x^n\|^{1/n}_1$.

La série $\sum^{\infty}_{n=1}\lambda^nx^n$ a pour rayon de convergence

(lim sup$_{n\rightarrow+\infty}\|x^n\|^{1/n}$)$^{-1}=\varrho (x)^{-1}$

(cf. VAR, R1, p. 23, 3.1.4). Supposons que A admette un élément unité. Si $\varrho (x)<1$, la série $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ est donc absolument convergente. Comme

pour tout entier $k\geqslant 0$, l’élément $1-x$ est inversible et son inverse est égal à $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.

C’est immédiat puisque $\|x\|<1$ implique $\varrho (x)<1$.

Soit $(\widetilde{A}, e)$ l’algèbre de Banach unifère déduite de A par adjonction d’un élément unité. Il existe un idéal à gauche (resp. à droite) maximal J de $\widetilde{A}$ tel que $J\cap A = I$ (A, VIII, p. 428, prop. 4). Alors J est disjoint de la boule ouverte de centre $e$ et de rayon 1 (cor. 1), et donc $\overline{J}\not=\widetilde{A}$. Comme J est un idéal maximal, cela implique que $\overline{J}= J$, et par suite que $I = J\cap A =\overline{J}\cap A$ est fermé dans A.

En effet le radical est l’intersection des idéaux à gauche maximaux réguliers (A, VIII, p. 430, déf. 3).

a) Si $x\in A$ admet un inverse à gauche (resp. à droite) $y$, tout élément $x'\in A$ tel que $\|x'-x\|<\|y\|^{-1}$ admet un inverse à gauche (resp. à droite).

b) L’ensemble des éléments de A qui sont inversibles (resp. à gauche, resp. à droite) est ouvert dans A.

c) Soit $(x_n)$ une suite d’éléments de A admettant des inverses à gauche (resp. à droite)$y_n$, et convergeant vers un élément $x\in A$. Si la suite $(y_n)$ est bornée, alors $x$ est inversible à gauche (resp. à droite).

Il suffit de traiter le cas des inverses à gauche ; celui des inverses à droite en découle en considérant l’algèbre opposée.

Soient $x, y, x'\in A$ tels que $yx= 1$ et $\|x'-x\|<\|y\|^{-1}$. On a

donc $yx'$ est inversible : il existe $z\in$ A tel que $z(yx') = 1$. Ainsi l’élément $x'$ est inversible à gauche d’inverse $zy$. Cela démontre l’assertion a) et l’assertion b) en résulte immédiatement.

Soit $(x_n)$ une suite d’éléments de A admettant des inverses à gauche $y_n$, qui converge vers un élément $x\in$ A, et telle que la suite $(y_n)$ est bornée. Si $M\geqslant 1$ est un nombre réel tel que $\|y_n\|\leqslant M$ pour tout $n\geqslant 1$, alors on a $\|x_n-x\|<M^{-1}\leqslant \|y_n\|^{-1}$ pour $n$ assez grand, et donc $x$ admet un inverse à gauche d’après a).

Soit $y_n$ un inverse à gauche de $x_n$. D’après la prop. 3 (ii), $\|y_n\|$ tend vers $+\infty$. Soit $z_n=\|y_n\|^{-1}y_n$. On a $\|z_n\|= 1$, et $z_nx_n=\|y_n\|^{-1}$ tend vers 0, donc $z_nx=z_nx_n+z_n(x-x_n)$ tend vers 0. On conclut alors à l’aide de la remarque suivant la définition 4.

En effet, soient $x$ un élément de $\overline{B}$ inversible dans A, et $(x_n)$ une suite d’éléments de B tendant vers $x$. Alors, pour $n$ assez grand, $x_n$ est inversible dans A et $x^{-1}_n$ tend vers $x^{-1}$. Puisque la sous-algèbre B est pleine, on a $x^{-1}_n\in B$, d’où $x^{-1}\in \overline{B}$.

Soit A est une algèbre de Banach unifère et soit $(y_i)_{i\in I}$ une famille d’éléments de A. Soit B la sous-algèbre pleine de A engendrée par les éléments $y_i$. Alors $\overline{B}$ est la plus petite sous-algèbre pleine fermée de A contenant les $y_i$. On l’appelle la sous-algèbre pleine fermée engendrée par les éléments $y_i$.

a) L’ensemble Sp$_A(x)$ est une partie compacte de $\mathbf{C}$;

b) Le rayon spectral $\varrho (x)$ est le rayon du plus petit disque fermé de centre 0 dans $\mathbf{C}$ qui contient Sp$_A(x)$ ;

c) La résolvante $\lambda \mapsto R(x, \lambda ) = (\lambda -x)^{-1}$ de $x$ est holomorphe dans $\mathbf{C}-$ Sp$_A(x)$ et nulle à l’infini. De plus, pour tout entier $k\geqslant 0$, on a la formule

$\frac{\partial^k}{\partial \lambda^k}R(x, \lambda ) = (-1)^kk$! $R(x, \lambda )^{k+1}$;

d) Pour tout nombre complexe $\lambda$ tel que $|\lambda |>1/\varrho (x)$, on a

Le complémentaire du spectre Sp$_A(x)$ est l’image réciproque du groupe G des éléments inversibles de A par l’application continue $\lambda \mapsto$ $x-\lambda$ de $\mathbf{C}$ dans A ; d’après la proposition 3, b) de I, p. 23, le spectre Sp$_A(x)$ est une partie fermée de $\mathbf{C}$. Par ailleurs, soit $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $|\lambda |> \varrho (x)$. On a $\lambda -x=\lambda (1-\lambda^{-1}x)$. Puisque $\varrho (\lambda^{-1}x) =|\lambda |^{-1}\varrho (x)<1$, l’élément $1-\lambda^{-1}x$, donc également l’élément $\lambda -x$, est inversible et

(I, p. 22, prop. 2). En particulier, $\lambda \notin$ Sp$_A(x)$. Cela démontre que Sp$_A(x)$ est contenu dans le disque de centre 0 et de rayon $\varrho (x)$. Par suite, Sp$_A(x)$ est compact. Cette formule (5) prouve aussi que la résolvante de $x$ est définie et holomorphe dans le complémentaire du disque fermé $\Delta_{\varrho(x)}$ de centre 0 et de rayon $\varrho (x)$, et tend vers 0 à l’infini.

Soit $\lambda_0\in \mathbf{C}-$ Sp$_A(x)$. Posons $y=\lambda_0-x$. Soit $\mu\in \mathbf{C}$ tel que $|\lambda_0-\mu|<\|y^{-1}\|^{-1}$. On a

donc $\mu-x$ est inversible et a pour inverse

d’après la prop. 2 de I, p. 22. Donc la résolvante de $x$ est définie et holomorphe dans le disque ouvert de centre $\lambda_0$ et de rayon $\|y^{-1}\|^{-1}$. Par suite, la résolvante de $x$ est une application holomorphe de $\mathbf{C}-$ Sp$_A(x)$ dans A.

La formule (1) de I, p. 4 implique $\frac{\partial}{\partial \lambda}R(x, \lambda ) =-R(x, \lambda )^2$, d’où, par récurrence sur $k$,

$\frac{\partial^k}{\partial \lambda^k}R(x, \lambda ) = (-1)^kk$! $R(x, \lambda )^{k+1}$.

Soit $a >0$ un nombre réel tel que Sp$_A(x)$ soit contenu dans le disque fermé $\Delta_a$ de centre 0 et de rayon $a$. La fonction $\lambda \mapsto (\lambda^{-1}-x)^{-1}$ est alors définie et holomorphe pour $0<|\lambda |< a^{-1}$ et tend vers 0 quand $\lambda$ tend vers 0. L’unique fonction continue sur le disque ouvert de centre 0 et de rayon $a^{-1}$ qui prolonge cette fonction holomorphe est alors holomorphe (VAR, R1, 3.3.9), donc le rayon de convergence de la série (5) qui la définit est $\geqslant a^{-1}$ (VAR, R1, 3.2.9). D’après la prop. 2 de I, p. 22, on a donc $a\geqslant \varrho (x)$.

Supposons d’abord A complète. Si l’on avait Sp($x$) $=\emptyset$, la résolvante de $x$ serait holomorphe dans $\mathbf{C}$ et nulle à l’infini, donc identiquement nulle (VAR, R., 3.3.6, p. 29). Comme $R(x, \lambda ) = (\lambda -x)^{-1}$ est inversible, il en résulterait que 1 = 0 et donc que $A =\{0\}$.

Dans le cas général, soit $\widehat{A}$ l’algèbre compétée de A ; la relation Sp$_A(x) =\emptyset$ entraînerait Sp$_{\widehat{A}}(x) =\emptyset$, d’où $\widehat{A} =\{0\}$ et $A =\{0\}$.

Si $x\in A$, il existe $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $x-\lambda$ soit non inversible (cor. 1), d’où $x-\lambda = 0$ et $x\in \mathbf{C}\cdot 1$.

Soit Δ le disque de centre 0 et de rayon 1 dans $\mathbf{C}$. D’après le th. 1 b) et le fait que $\varrho (x)\leqslant \|x\|$, on a Sp($x$)$\subset \Delta$. De même, Sp($x$)$^{-1}$ = Sp($x^{-1}$)$\subset \Delta$, d’où le corollaire (cf. I, p. 2, remarque 4).

a) Soit $u$ un endomorphisme de E, non nécessairement continu, qui commute avec A. Alors $u$ est une homothétie ;

b) Soit $u$ un endomorphisme de E, non nécessairement continu. Pour tout entier $n\geqslant 1$ et pour tout $(\xi_1, . . . , \xi_n)\in E^n$, il existe $v\in A$ tel que

Montrons a). Soit $\widetilde{A}$ l’algèbre obtenue à partie de A par adjonction d’un élément unité. Puisque E est un A-pseudomodule simple, c’est un $\widetilde{A}$-module simple.

Soit B le commutant de $\widetilde{A}$ dans l’anneau des endomorphismes du $\mathbf{C}$-espace vectoriel E. L’algèbre B contient 1 et est l’algèbre des endomorphismes du $\widetilde{A}$-module E. Comme E est un $\widetilde{A}$-module simple, le lemme de Schur (A, VIII, p. 43, corollaire), montre que B est un corps.

Soit $\xi_0\in E$ tel que $A\xi_0\not=\{0\}$. On a donc $A\xi_0= E$. Pour tout $u\in B$, soit $A_u$ l’ensemble des $v\in A$ tels que $v(\xi_0) =u(\xi_0)$. Cet ensemble est non vide, puisque $A\xi_0= E$. On pose alors

$\|u\|_B=$ inf$_{v\in A_u}\|v\|$.

L’application $u\mapsto \|u\|_B$ est une seminorme sur B.

Montrons que cette application est une norme. Soit $u$ un élément non nul de B. Pour tout $v\in A_u$, on a $\|v\|\geqslant \|v(\xi_0)\|/\|\xi_0\|=\|u(\xi_0)\|/\|\xi_0\|$, de sorte que $\|u\|_B\geqslant \|u(\xi_0)\|/\|\xi_0\|$. Il suffit donc de démontrer que $u(\xi_0)\not= 0$. Soit $\xi_1\in E$ tel que $u(\xi_1)\not= 0$. Comme $A\xi_0= E$, il existe $w\in A$ tel que $\xi_1=w(\xi_0)$. Alors, $wu(\xi_0) =uw(\xi_0) =u(\xi_1)\not= 0$, donc $u(\xi_0)\not= 0$.

D’autre part, soient $u$ et $u'$ des éléments de B. Pour tout $\varepsilon >0$, il existe $v, v'\in A$ tels que $v(\xi_0) =u(\xi_0),v'(\xi_0) =u'(\xi_0)$ et $\|v\|\leqslant \|u\|_B+\varepsilon$, $\|v'\|\leqslant \|u'\|_B+\varepsilon$. Alors on a $vv'(\xi_0) =vu'(\xi_0) =u'v(\xi_0) =u'u(\xi_0)$, d’où

et finalement $\|u'u\|_B\leqslant \|u\|_B\|u'\|_B$. Cela montre que B, muni de la norme $u\mapsto \|u\|_B$, est une algèbre normée. Comme c’est un corps, le corollaire 2 implique que $B =\mathbf{C}\cdot 1$, ce qui est la conclusion désirée.

Démontrons b). D’après a), le commutant de A dans End$_{\mathbf{C}}(E)$ est réduit aux homothéties de E. Son bicommutant est donc End$_{\mathbf{C}}(E)$. L’assertion b) résulte donc du théorème de densité de Jacobson (théo-rème 1 de A, VIII, p. 434).

a) Sp$'(x)$ est une partie compacte de $\mathbf{C}$;

b) Le rayon spectral $\varrho (x)$ est le rayon du plus petit disque fermé de centre 0 de $\mathbf{C}$ qui contient Sp$'(x)$ ;

c) Pour que $x$ soit quasi-nilpotent, il faut et il suffit que l’on ait Sp$'(x) =\{0\}$.

Les assertions a) et b) résultent du th. 1 en considérant l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction d’un élément unité. L’assertion c) résulte de b).