Démontrons que $|\chi (x)|\leqslant \|x\|$ pour tout $x\in$ A. Quitte à remplacer A par l’algèbre de Banach engendrée par $x$, on peut supposer que A est commutative ; alors, $\chi \in \mathsf{X}'(A)$. Pour tout $x\in A$, on a $\chi (x)\in$ Sp$'_A(x)$ (I, p. 9, n$^o7$), donc $|\chi (x)|\leqslant \varrho (x)\leqslant \|x\|($I, p. 28, cor. 5), d’où la première assertion.

Si, de plus, A est unifère, l’égalité $\chi (1) = 1$ entraîne que $\|\chi \|\geqslant 1$, d’où l’égalité voulue.

Soit $A'$ le dual de l’espace de Banach A. Sa boule unité $A'_1$ est faiblement compacte (EVT, III, p. 17, cor. 2). D’après le th. 1, on a $\mathsf{X}'(A)\subset A'_1$. De plus, $\mathsf{X}'(A)$ est fermé dans $A'$ pour la topologie faible, car il est l’intersection des ensembles faiblement fermés

$X_{x,y}=\{f\in A'|f(xy)-f(x)f(y) = 0\}$ (pour $x,y\in A$).

Il en résulte que $\mathsf{X}'(A)$ est compact et que $\mathsf{X}(A) =\mathsf{X}'(A)-\{0\}$ est localement compact.

Si A admet un élément unité 1, alors $\mathsf{X}(A)$ est l’ensemble des $\chi \in$ $\mathsf{X}'(A)$ tels que $\chi (1) = 1$, et est donc une partie fermée, et par suite compacte, de $\mathsf{X}'(A)$.

Tout espace compact est homéomorphe à $\mathsf{X}(A)$ pour une algèbre de Banach unifère commutative A convenable (cf. I, p. 32, cor. 2).

Soit I un idéal maximal régulier de A. Il est fermé (I, p. 22, cor. 2), donc $A/I$ est une algèbre de Banach. Comme c’est un corps (A, VIII, p. 426, prop. 2), le théorème de Gelfand–Mazur (I, p. 26, cor. 2), implique que $A/I$ est de dimension 1 sur $\mathbf{C}$. Donc I est de codimension 1 dans A. Le théorème résulte alors du lemme 3 de I, p. 10.

Il peut arriver qu’une algèbre de Banach commutative non nulle A, sans élément unité, n’ait aucun idéal maximal ; alors $\mathsf{X}'(A)$ est réduit à $\{0\}($cf. I, p. 186, exercice 31).

Ce théorème montre que les ensembles J(A) et $\widehat{A}$ de I, p. 11, qui s’identifient puisque A est commutative, peuvent aussi s’identifier à l’ensemble $\mathsf{X}(A)$. Il y a donc lieu de considérer sur $\mathsf{X}(A)$ la topologie faible, et la topologie de Jacobson qui est moins fine (I, p. 15, prop. 5). Les ensembles fermés V(M) de la topologie de Jacobson, pour $M\subset A$, sont les ensembles

de $\mathsf{X}(A)$, qu’on notera parfois encore V(M). Similairement, pour toute partie M de $\mathsf{X}(A)$, on notera Υ(M) l’idéal intersection des noyaux des $\chi \in M$ ; il est égal à l’ensemble $\Upsilon (M')$ défini dans I, p. 13 pour la partie $M'\subset J(A)$ correspondant à M lorsqu’on identifie J(A) et $\mathsf{X}(A)$.

Quand on utilisera une notion topologique dans $\mathsf{X}(A)$ sans préciser de quelle topologie il s’agit, il s’agira toujours de la topologie faible.

L’ensemble $I_{\Phi}$ est un idéal fermé de $\mathscr{C}_0(X)$.

Soient $\Phi \not= \Phi '$ des parties fermées de X. Quitte à échanger Φ et $\Phi '$, on peut supposer qu’il existe $x\in \Phi '$ tel que $x\notin \Phi$, et il existe alors une fonction $f\in \mathscr{C}_0(X)$ nulle sur Φ et non nulle en $x$ (TG, IX, p. 43, prop. 1). On a $f\in I_{\Phi}$ et $f\notin I_{\Phi'}$, de sorte que l’application $\Phi \mapsto I_{\Phi}$ est injective.

Soit I un idéal fermé de $\mathscr{C}_0(X)$. Soit Φ l’ensemble des $x\in X$ tels que $f(x) = 0$ pour tout $f\in I$ ; c’est une partie fermée de X, et on a $I\subset I_{\Phi}$. Démontrons que $I_{\Phi}\subset I$, ce qui impliquera que $I = I_{\Phi}$ et terminera la preuve de la proposition.

Soit $f\in I_{\Phi}$. Pour tout nombre réel $\varepsilon >0$, notons $C_{\varepsilon}$ l’ensemble des $x\in X$ tels que $|f(x)|\geqslant \varepsilon$. Puisque $f$ tend vers 0 à l’infini, l’ensemble $C_{\varepsilon}$ est compact. Soit $x\in C_{\varepsilon}$; comme $f(x)\not= 0$ et $f\in I_{\Phi}$, on a $x\notin \Phi$ ; par définition de Φ, il existe alors une fonction $\varphi_x\in I$ telle que $|\varphi_x(x)|>1$, donc telle que $|\varphi_x(y)|>1$ pour tout $y$ appartenant à un voisinage $V_x$ de $x$. Les ouverts $V_x\cap C_{\varepsilon}$ recouvrent $C_{\varepsilon}$. Puisque l’ensemble $C_{\varepsilon}$ est compact, il existe un sous-ensemble fini $T_{\varepsilon}\subset X$ tel que

Alors l’élément

1

$x\in T_{\varepsilon}$

de $\mathscr{C}_0(X)$ appartient à I, et on a $g_{\varepsilon}\geqslant \varepsilon^{-1}$ sur $C_{\varepsilon}$. La fonction

appartient à I. Pour $x \notin C_{\varepsilon}$, on a

et pour $x\in C_{\varepsilon}$, on a

Ainsi $f_{\varepsilon}$ converge uniformément vers $f$ sur X quand $\varepsilon$ tend vers 0. On a donc $f\in \overline{I}$, d’où $f\in I$ puisque I est fermé.

Ceci résulte aussitôt de la prop. 1.

Notons $X'$ le compactifié d’Alexandroff de X, c’est-à-dire l’espace compact déduit de X par adjonction d’un point à l’infini $\omega_X$ (TG, I, p. 67 et 68). L’algèbre $\mathscr{C}_0(X)$ s’identifie à l’algèbre de Banach des fonctions complexes continues sur $X'$ nulles en $\omega_X$.

Pour tout $x\in X'$, on note ev$_x$ le caractère de $\mathscr{C}_0(X)$ défini par ev$_x(f) =f(x)$ pour tout $f\in \mathscr{C}_0(X)$.

L’application ev$:x\mapsto$ ev$_x$ de $X'$ dans $\mathsf{X}'(\mathscr{C}_0(X))$ est injective. Elle est surjective d’après le cor. 1 et le th. 2 de I, p. 30. Elle est continue, car pour toute fonction $f\in \mathscr{C}_0(X)$ et tout ouvert U de $\mathbf{R}$, on a

ev$^{-1}(\{\chi \in \mathsf{X}'(\mathscr{C}_0(X))|\chi (f)\in U\}) =\overset{-1}{f}(U)$

qui est ouvert dans X. L’application ev est donc un homéomorphisme puisque $X'$ est compact. La restriction de ev à X est alors un homéo-morphisme sur $\mathsf{X}(\mathscr{C}_0(X))$.

Si F est une partie faiblement fermée de $\mathsf{X}(\mathscr{C}_0(X))$, elle correspond par l’homéomorphisme ev à une partie fermée Φ de X ; précisément, d’après la prop. 1, on a $F =\{\chi \in \mathsf{X}(\mathscr{C}_0(X))|I_{\Phi}\subset$ Ker $\chi \}$ qui est fermé pour la topologie de Jacobson.

L’application $f\mapsto \widetilde{f}$ est une bijection entre l’ensemble des applications partielles propres $f$ de X dans Y et l’ensemble des applications continues $g$ de $X'$ dans $Y'$ telles que $g(\omega_X) =\omega_Y$.

Soit $f$ une application partielle propre de X dans Y et soit U son domaine. Démontrons que l’application $\widetilde{f}$ est continue. Elle est continue en tout point de U, car U est ouvert dans $X'$. Démontrons qu’elle est également continue en tout point $x$ de $X'-$ U ; on a alors $\widetilde{f}(x) =\omega_Y$. Soit V un voisinage ouvert de $\omega_Y$ dans $Y'$; démontrons que $\widetilde{f}^{-1}(V)$ est un voisinage de $x$. Par définition de l’espace topologique $Y'$, on peut supposer que V est de la forme $Y'-$ K, où K est une partie compacte de Y. Puisque $f$ définit une application propre de U dans Y, l’ensemble $f^{-1}(K)$ est compact dans U (TG, I, p. 77, prop. 6), donc dans $X'$. C’est en particulier une partie fermée de $X'$ et $\widetilde{f}^{-1}(V) =$ $X'-f^{-1}(K)$ est une partie ouverte de $X'$, et est donc un voisinage de $x$.

Inversement, soient $g: X'\rightarrow Y'$ une application continue telle que $g(\omega_X) =\omega_Y$ et $\Gamma_g\subset X'\times Y'$ son graphe. L’ensemble U = X $-\overset{-1}{g}(\omega_Y)$ est ouvert dans X. La correspondance $f= (\Gamma_g\cap (U\times Y),X,Y)$ est une application partielle propre de X dans Y (TG, I, p. 77, prop. 7) telle que $\widetilde{f}=g$, et c’est la seule.

Nous identifierons les applications partielles propres de X dans Y aux applications continues de $X'$ dans $Y'$ qui appliquent $\omega_X$ sur $\omega_Y$. En particulier, les applications propres de X dans Y sont les applications partielles propres de domaine X ; elles s’identifient aux applications continues $f$ de $X'$ dans $Y'$ telles que que $\overset{-1}{f}(\omega_Y) =\{\omega_X\}$. Si X est compact, ce sont tout simplement les applications continues de X dans Y.

Soit A une algèbre de Banach complexe commutative. Rappelons que $\mathsf{X}'(A)$ s’identifie à l’espace compact obtenu à partir de $\mathsf{X}(A)$ par adjonction d’un point à l’infini (I, p. 29, corollaire).

En effet, $\mathsf{X}'(\pi )$ est une application continue de $\mathsf{X}'(B)$ dans $\mathsf{X}'(A)$ (I, p. 10). Le point à l’infini de $\mathsf{X}'(B)$ (resp. de $\mathsf{X}'(A)$) est le caractère nul, et on a $\mathsf{X}'(\pi )(0) = 0$.

b) L’application $\varphi \mapsto \varphi^*$ est une bijection de l’ensemble des applications partielles propres de X dans Y sur l’ensemble des morphismes d’algèbres de $\mathscr{C}_0(Y)$ dans $\mathscr{C}_0(X)$. Sa bijection réciproque est l’application $\pi \mapsto \mathsf{X}'(\pi )$.

Démontrons a). Soit $\varphi$ une application partielle propre de X dans Y, identifiée à une application continue de $X'$ dans $Y'$ telle que $\varphi (\omega_X) =\omega_Y$. Pour $f\in \mathscr{C}_0(Y)$, on a $(f\circ \varphi )(\omega_X) =f(\omega_Y) = 0$, donc l’application $\varphi^*$ est bien définie. C’est un morphisme d’algèbres.

Démontrons que $\mathsf{X}'(\varphi^*)$ s’identifie à $\varphi$. Soit $x\in X$. Pour toute fonction $f\in \mathscr{C}_0(Y)$, le caractère $\mathsf{X}'(\varphi^*$)(ev$_x$) associe à $f$ le nombre complexe

(ev$_x\circ \varphi^*$)$(f) =$ ev$_x(f\circ \varphi ) =f(\varphi (x))$,

donc $\mathsf{X}'(\varphi^*$)(ev$_x$) $=$ ev$_{\varphi(x)}$. Cela démontre l’assertion.

Inversement, soit $\pi :\mathscr{C}_0(Y)\rightarrow \mathscr{C}_0(X)$ un morphisme d’algèbres. Démontrons que $\mathsf{X}'(\pi )^*=\pi$. Soit $f\in \mathscr{C}_0(Y)$, et notons $g=\mathsf{X}'(\pi )^*(f)\in$ $\mathscr{C}_0(X)$. Pour tout $x\in X$, on a

$g(x) = (f\circ \mathsf{X}'(\pi ))(x) =$ ev$_{\mathsf{X}'(\pi)(x)}(f) =$ (ev$_x\circ \pi$ )$(f) =\pi (f)(x)$,

puisque $\mathsf{X}'(\pi )$ vérifie ev$_{\mathsf{X}'(\pi)(x)}=$ ev$_x\circ \pi$. On a donc $g=\pi (f)$, ce qui permet de conclure que $\mathsf{X}'(\pi )^*=\pi$.

De manière tout à fait similaire, on a :

a) Pour toute application continue $\varphi : X\rightarrow$ Y, l’application $\varphi^*:f\mapsto f\circ \varphi$ est un morphisme d’algèbres de $\mathscr{C}(Y)$ dans $\mathscr{C}(X)$;

b) Les applications $\varphi \mapsto \varphi^*$ et $\pi \mapsto \mathsf{X}(\pi )$ sont des bijections réciproques entre l’ensemble des applications continues de X dans Y et l’ensemble des morphismes d’algèbres de $\mathscr{C}(Y)$ dans $\mathscr{C}(X)$.

Par définition (cf. n$^o7$ de I, p. 9), la fonction $\mathscr{G}'_A(x) :\chi \mapsto \chi (x)$ est continue sur $\mathsf{X}'(A)$ et nulle en 0. Comme $\mathsf{X}'(A)$ s’identifie au compactifié d’Alexandroff de $\mathsf{X}(A)$ d’après le cor. 1 de I, p. 29, la proposition en résulte.

a) La réunion de l’ensemble des valeurs de $\mathscr{G}(x)$ et de $\{0\}$ est égale à Sp$'_A(x)$ ;

b) Si A admet un élément unité, l’ensemble des valeurs de $\mathscr{G}(x)$ est Sp$_A(x)$. En particulier, pour que $x$ soit inversible, il faut et il suffit que $\mathscr{G}(x)$ ne s’annule pas.

Supposons que A admette un élément unité. On sait que, pour tout $\chi \in \mathsf{X}(A)$, on a $\chi (x)\in$ Sp$_A(x)$. Réciproquement, soit $\lambda \in$ Sp$_A(x)$. Alors $x-\lambda$ n’est pas inversible, donc appartient à un idéal maximal de A. Il existe alors $\chi \in \mathsf{X}(A)$ tel que $\chi (x-\lambda ) = 0$ (th. 2 de I, p. 30), d’où b).

Passons au cas général. Soit $\widetilde{A}$ l’algèbre de Banach obtenue à partir de A par adjonction d’un élément unité ; elle est commutative. L’ensemble Sp$'_A(x)$ est égal à Sp$_{\widetilde{A}}(x)$, c’est-à-dire à l’ensemble des valeurs de $\mathscr{G}_{\widetilde{A}}(x)$ sur $\mathsf{X}(\widetilde{A}) =\mathsf{X}'(A)$. D’où a).

a) La transformation de Gelfand $\mathscr{G}$ définit un morphisme de A dans $\mathscr{C}_0(\mathsf{X}(A))$ tel que $\|\mathscr{G}(x)\|=\varrho (x)\leqslant \|x\|$ pour tout $x\in A$ ;

b) Pour que la transformation de Gelfand $\mathscr{G}$ soit isométrique, il faut et il suffit que $\|x^2\|=\|x\|^2$ pour tout $x\in A$.

L’application $\mathscr{G}$ est un morphisme de A dans $\mathscr{C}_0(\mathsf{X}(A))$ d’après le n$^o7$ de I, p. 9 et la prop. 5 de I, p. 37, et vérifie $\|\mathscr{G}(x)\|=\varrho (x)$ d’après la prop. 6 et le cor. 5 de I, p. 28. L’assertion b) résulte de a) et de la remarque 1 de I, p. 21.

a) On a $\varrho (xy)\leqslant \varrho (x)\varrho (y)$ et $\varrho (x+y)\leqslant \varrho (x) +\varrho (y)$ ;

b) Si $y$ est quasi-nilpotent, alors Sp$'_A(x) =$ Sp$'_A(x+y)$ ; si de plus A est unifère, alors Sp$_A(x) =$ Sp$_A(x+y)$.

En considérant l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction d’un élément unité, on se ramène d’abord au cas où l’algèbre A est unifère. Puis en considérant la sous-algèbre pleine fermée de A engendrée par $x$ et $y$, on se ramène au cas où A est commutative et unifère. L’assertion a) est alors une conséquence de la prop. 7, a), et l’assertion b) découle de la prop. 6 de I, p. 37 et du cor. 5 de I, p. 28.

(i) Le noyau de la transformation de Gelfand ;

(ii) L’ensemble des éléments $x$ de A tels que Sp$'_A(x) =\{0\}$;

(iii) L’ensemble des éléments quasi-nilpotents de A ;

(iv) Le radical de A.

Notons $N_1,N_2,N_3,N_4$, respectivement, ces ensembles. On a $N_1=$ $N_2$ (prop. 6, a)), et $N_2= N_3($I, p. 28, cor. 5). Par définition, l’ensemble $N_4$ est l’intersection des idéaux maximaux réguliers de A ; c’est donc l’intersection des noyaux des caractères de A (th. 2 de I, p. 30), qui est égal à $N_1$.

Soit Υ(M) l’intersection des noyaux des éléments de M. L’ensemble M est fermé pour la topologie de Jacobson si et seulement si M = V(Υ(M)) (cf. I, p. 13 et I, p. 30). Cette condition équivaut à dire que les éléments $\chi$ de M sont précisément les caractères qui s’annulent sur Υ(M). Par conséquent M est fermé si et seulement si pour tout caractère $\chi \notin M$, il existe $x\in \Upsilon (M)$ tel que $\chi (x)\not= 0$. Cela se traduit en $\mathscr{G}(x)(\chi )\not= 0$ et $\mathscr{G}(x)|M = 0$.

Soit $h: A\rightarrow B$ un morphisme d’algèbres et soit $(a, b)\in A\times B$ un point adhérent au graphe Γ de $h$. Soit $\chi \in \mathsf{X}'(B)$. La fonction $x\mapsto \chi (h(x))$ de A dans $\mathbf{C}$ est un homomorphisme d’algèbres, donc est continu (I, p. 29, th. 1). L’application de $A\times B$ dans $\mathbf{C}$ donnée par $(x, y)\mapsto \chi (h(x))-\chi (y)$ est alors continue, elle est nulle sur Γ, donc nulle en $(a, b)$. On a ainsi $\chi (h(a)) =\chi (b)$ pour tout $\chi \in \mathsf{X}'(B)$. Comme B est sans radical, on a $h(a) =b$. Ainsi le graphe de $h$ est fermé et donc $h$ est continu (EVT, I, p. 19, cor. 5).

Il suffit d’appliquer la prop. 9 à l’application identique de l’algèbre.

Soient A et B des algèbres de Banach commutatives. D’après le n$^o7$ de I, p. 9, si $h: A\rightarrow B$ est un morphisme surjectif, $\mathsf{X}'(h)$ est un homéo-morphisme de $\mathsf{X}'(B)$ sur un sous-espace fermé de $\mathsf{X}'(A)$ qui transforme 0 en 0. (Dans le cas où $h$ est l’injection d’une sous-algèbre dans $\mathscr{C}(X)$, l’application $\mathsf{X}'(h)$ est injective sous des hypothèses beaucoup plus faibles, cf. I, p. 142, prop. 1, d).)

Soit maintenant $h: A\rightarrow B$ un morphisme injectif. En général, $\mathsf{X}'(h)$ n’est pas surjectif, mais la proposition suivante fournit une condition nécessaire pour que ce soit le cas.

Soit $x\in A$ tel que $h(x)$ soit inversible dans B. Pour tout $\chi \in \mathsf{X}(A)$, il existe $\xi \in \mathsf{X}(B)$ tel que $\chi =\mathsf{X}(h)(\xi )$, donc $\chi (x) =\xi (h(x))\not= 0$. La prop. 6 de I, p. 37 montre alors que $x$ est inversible dans A, et donc que $h(x)$ est inversible dans $h(A)$.

La condition nécessaire de la proposition n’est pas suffisante, même si $h$ est isométrique (I, p. 168, exerc. 14). On a toutefois le résultat suivant :

(i) $\mathsf{X}(h)$ est surjectif;

(ii) $h(A)$ est une sous-algèbre pleine de B;

(iii) Sp$_A(a) =$ Sp$_B(h(a))$.

(i) $=\Rightarrow$ (ii) résulte de la prop. 10.

(ii) $=\Rightarrow$ (iii) résulte de la formule Sp$_A(a) =$ Sp$_{h(A)}(h(a)) =$ Sp$_B(h(a))$, valide puisque $h(A)$ est une sous-algèbre pleine de B.

(iii) $=\Rightarrow$ (i) d’après la formule (4) du n$^o6$ de I, p. 6, on a le diagramme commutatif

Sp$_B(h(a))\rightarrow$ Sp$_A(a)$

où les flèches verticales désignent des applications surjectives (I, p. 37, prop. 6) et $i$ est l’inclusion canonique. L’hypothèse (iii) signifie que $i$ est bijective. De plus l’application surjective $\mathscr{G}_A(a) :\mathsf{X}(A)\rightarrow$ Sp$_A(a)$ est bijective : en effet, pour tout caractères $\chi_1$ et $\chi_2$ de A, l’ensemble $A_{\chi_1,\chi_2}=\{x\in A|\chi_1(x) =\chi_2(x)\}$ est une sous-algèbre fermée pleine de A. Par hypothèse, on a donc $A_{\chi_1,\chi_2}$ = A si $a\in A_{\chi_1,\chi_2}$, c’est-àdire $\chi_1=\chi_2$ si $\mathscr{G}_A(a)\chi_1=\mathscr{G}_A(a)\chi_2$. Le diagramme implique alors que l’application $\mathsf{X}(h)$ est surjective.