Exercice 5, § 8

Soit A l’algèbre de Banach des fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbf{C}$ admettant des dérivées continues dans $[0,1]$ jusqu’à l’ordre $n$ (exemple 4 de I, p. 18). Soit $\omega \in [0,1] =\mathsf{X}(A)$.

a) Le plus petit idéal fermé I de A tel que $V(I) =\{\omega \}$ est l’ensemble des $f\in A$ telles que $f, f', . . . , f^{(n)}$ s’annulent en $\omega$. (Utiliser la prop. 5 de I, p. 94) b) Si $g\in A$, la norme de son image canonique dans $A/I$ est égale à

$\sum^n|g^(\overset{k)}{k}($!$\omega )|$.

$k=0$

c) L’algèbre $A/I$ est isomorphe à $\mathbf{C}[X]/(X^{n+1})$; le seul idéal maximal de A contenant I est l’ensemble des $f\in A$ telles que $f(\omega ) = 0$.