Exercice 17, § 1

Soient $q\geqslant 1$ un entier, et soit $a\geqslant 1$ un entier premier à $q$. Soit $\widetilde{\chi}$ un caractère du groupe $(\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})^*$. On note $\chi$ l’application de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{C}$ telle que $\chi (n) = 0$ si $n$ n’est pas premier à $q$ et $\chi (n) =\widetilde{\chi}(n$ (mod$. q$)) dans le cas contraire (« caractères de Dirichlet »).

a) Supposons $\widetilde{\chi}$ non trivial. La fonction définie par

est holomorphe sur l’ouvert U de $\mathbf{C}$ formé des nombres complexes tels que $\mathscr{R}(s)>1$, et il existe une unique fonction holomorphe sur $\mathscr{R}(s)>0$ qui coïncide avec elle sur U. On a

pour $s\in U$, où le produit porte sur les nombres premiers et converge absolument et uniformément sur les parties compactes de U (« Fonction L de Dirichlet »).

b) Supposons que $\widetilde{\chi}^2$ n’est pas trivial. On a $L(1, \chi )\not= 0$. (Adapter la méthode de la question j) de l’exercice précédent.)

c) On suppose que $\widetilde{\chi}$ est d’ordre 2. Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note

où la somme porte sur les diviseurs $d\geqslant 1$ de $n$. Il existe un nombre réel $c >0$ tel que, pour tout $x\geqslant 2$, on ait

$\sum r_{\chi}\surd (\frac{n}{n})\geqslant c$ log($x$)

$n\leqslant x$

(remarquer que l’application $r_{\chi}$ est $\geqslant 0$ et multiplicative, c’est-à-dire que $r_{\chi}(nm) =r_{\chi}(n)r_{\chi}(m)$ si $n$ et $m$ sont premiers entre eux, et noter que $r_{\chi}(n)\geqslant$ 1 si $n$ est un carré d’un nombre entier.)

d) On suppose toujours que $\widetilde{\chi}$ est d’ordre 2. On a

$n\leqslant x$

lorsque $x\rightarrow +\infty$. En déduire que $L(1, \chi )\not= 0$. e) Lorsque $\sigma >1$ converge vers 1, on a

$p\equiv a$ mod$. qp$

où $\varphi (q)$ est l’indicateur d’Euler de $q$ (A, V, p. 76).

f) Il existe une infinité de nombres premiers congrus à $a$ modulo $q$ (« théo-rème de la progression arithmétique de Dirichlet »).