Exercice 26, § 5

On note $x$ la fonction identique de $\mathbf{R}_+$.

a) Soit $\nu$ une mesure positive sur $\mathbf{R}_+$ telle que $x^n$ est $\nu$-intégrable pour tout entier $n\geqslant 0$. Notons $\mu_n=\nu (x^n)$. Pour tout entier $n\geqslant 0$ et pour tous nombres complexes $a_0, . . .,a_n$, on a

b) Si $(\mu_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite de nombres réels vérifiant la condition de la question précédente, alors il existe une mesure positive $\nu$ sur $\mathbf{R}_+$ telle que $\mu_n=\nu (x^n)$ pour tout $n\in \mathbf{N}$. (« Problème des moments de Stieltjes » ; utiliser la méthode de l’exercice 21 en faisant appel à l’extension de Friedrichs.)