Exercice 14, § 3

Soit G un groupe localement compact. On dit que G a la propriété ]T[ de Kazhdan[^1] si une représentation unitaire $\pi$ de G a une sous-représentation triviale non nulle[^2] si et seulement si la représentation triviale 1$_G$ de G sur $\mathbf{C}$ est faiblement contenue dans $\pi$.

a) Soit G un groupe localement compact ayant la propriété ]T[. Soit $\mathscr{H}$ l’ensemble des sous-groupes ouverts de G qui sont engendrés par une partie compacte de G. Le groupe G est la réunion des sous-groupes $H\in \mathscr{H}$.

b) Soit $\pi$ la représentation de G somme hilbertienne des représentations quasi-régulières de G sur $G/H$ pour $H\in \mathscr{H}$ (cf. exercice 2 de V, p. 486). On a 1$_G\leqslant \pi$.

c) Le groupe G est engendré par une partie compacte de G. En particulier, si G est discret, alors G est engendré par une partie finie de G.

[^1]: cf. D. Kazhdan, Connection of the dual space of a group with the structure of its closed subgroup, Funct. Anal. Appl. 1 (1967), 63–65. [^2]: C’est-à-dire qu’il existe $x\not = 0$ dans l’espace de E invariant par G.