(i) Pour toute partie compacte Y de X et toute mesure positive $\mu$ sur Y, l’endomorphisme de $L^2(Y, \mu)$ défini par le noyau $f|(Y\times Y)$ (déf. 1 de III, p. 29) est positif, autrement dit, on a

pour tout $h\in \mathscr{L}^2(Y, \mu)$;

(ii) Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, toute famille $(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ dans X et toute famille $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de nombres complexes, on a

(iii) Il existe un espace hilbertien complexe E et une application continue $g: X\rightarrow E$ d’image totale telle que $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ pour tous $x$ et $y$ dans X ;

(iv) Il existe un espace hilbertien complexe E et une application continue $g: X\rightarrow E$ telle que $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ pour tous $x$ et $y$ dans X.

Il est apparent que (iii) implique (iv) et on voit que (i) implique (ii) en considérant la mesure discrète $\mu$ qui est l’image de la mesure de comptage sur $\{0, . . . , n\}$ par l’application $i\mapsto x_i$ et la fonction $h$ telle que

$x_i=x$

Démontrons que (iv) implique (i). Supposons qu’il existe un espace hilbertien complexe E et une application continue $g: X\rightarrow E$ tels que $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ pour tout $(x, y)\in X\times X$. Soient Y une partie compacte de $X,\mu$ une mesure positive sur Y et $h\in \mathscr{L}^2(Y, \mu)$. On a

d’après INT, V, p. 97, § 8, n$^o4$, prop. 9.

Démontrons enfin que (ii) implique (iii). Soit $\widetilde{E}$ l’espace des mesures complexes à support fini sur X. Pour $\mu_1$ et $\mu_2$ dans $\widetilde{E}$, on pose

La forme sesquilinéaire ainsi définie sur $\widetilde{E}$ est une forme hermitienne positive. En effet, soit $\mu\in \widetilde{E}$; il existe une famille finie $(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ dans X et des nombres complexes $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ tels que $\mu=\sum^n_{i=0}t_i\varepsilon_{x_i}$. On a alors

par hypothèse. On définit $\widetilde{g}: X\rightarrow \widetilde{E}$ par $\widetilde{g}(x) =\varepsilon_x$. L’image de l’application $\widetilde{g}$ engendre $\widetilde{E}$. De plus, pour tout $(x, y)\in X\times X$, on a d’une part $f(x, y) =\langle \widetilde{g}(x)|\widetilde{g}(y)\rangle$ et d’autre part

ce qui implique que $\widetilde{g}$ est continue puisque $f$ est continue.

Soient E l’espace hilbertien séparé-complété de $\widetilde{E}$ (EVT, V, p. 8, cor. de la prop. 4) et $g: X\rightarrow E$ la composition de $\widetilde{g}$ et de l’application canonique $\widetilde{E}\rightarrow E$. Alors l’application $g$ est continue, son image est totale dans E, et on a $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ pour tout $(x, y)\in X\times X$.

La méthode employée pour démontrer que (ii) implique (iii) est appelée la construction de Gelfand–Naimark–Segal.

L’unicité de $u$ résulte du fait que l’image de $g_1$ est totale dans $E_1$. Soit $F =\mathbf{C}^{(X)}$ et soit $(e_x)_{x\in X}$ la base canonique de F. Pour $j= 1$ et $j= 2$, notons $u_j$ l’application linéaire de F dans $E_j$ déterminée par $u_j(e_x) =g_j(x)$, et notons $F_j$ son image ; l’espace $F_1$ est dense dans $E_1$.

Soit $t=\sum t_xe_x$ un élément de F. On a

Par conséquent, il existe une application linéaire isométrique $v$ de $F_1$ dans $F_2$ telle que $u_2=v\circ u_1$, et en particulier $g_2(x) =v(g_1(x))$ pour tout $x\in X$. Puisque l’image de $g_1$ est totale dans $E_1$, cette application se prolonge en une application linéaire isométrique $u$ de $E_1$ dans $E_2$ telle que $g_2=u\circ g_1$.

D’après le lemme 8 de I, p. 107, l’image de $u$ est fermée dans $E_2$. Si $(E_2, g_2)$ est une réalisation hilbertienne cyclique, l’image de $u$ est également dense dans $E_2$ et $u$ est donc un isomorphisme.

nombre réelIl est élémentaire que si$t\geqslant 0$, et que $\frac{f}{f}\in \in$ NoyNoy$_{++}(X)$.(X), alors $tf\in$ Noy$_+(X)$ pour tout

Si $(E_1, g_1)$ et $(E_2, g_2)$ sont des réalisations hilbertiennes de noyaux universellement positifs $f_1$ et $f_2$ sur X, alors le couple $(E_1\oplus E_2, g_1+g_2)$ (resp. le couple $(E_1\widehat{\otimes}_2E_2, g_1\otimes g_2)$) est une réalisation hilbertienne de $f_1+f_2$ (resp. de $f_1f_2$); ce sont donc des noyaux universellement positifs.

La caractérisation (ii) de Noy$_+(X)$ (th. 1) implique que cet ensemble est fermé dans $\mathscr{C}(X\times X)$ muni de la topologie de la convergence simple.

La première assertion résulte de I, p. 97. D’après ce qui précède, l’application $\varphi$ de $\mathscr{O}$(Sp$_A(a)$) dans A définie par $f\mapsto (f^*(a^*))^*$ est un morphisme unifère continu de $\mathscr{O}$(Sp$_A(a)$) dans A tel que l’image du germe au voisinage de Sp$_A(a)$ de la fonction identique de $\mathbf{C}$ est égal à $a$. Par conséquent, $\varphi$ est l’application $f\mapsto f(a)$ du calcul fonctionnel holomorphe (I, p. 74, th. 5).

Le rayon de convergence de la série entière

$n=0$

est à 1 et sa somme $f$ définit une fonction holomorphe sur D (VAR,

R1, p. 27, 3.2.9) prenant la valeur 1 en 0. Elle vérifie $f(x) =1-x$ pour tout $x\in D\cap \mathbf{R}$ (FVR, III, p. 19), donc $f(z)^2= 1-z$ pour $z\in D$ puisque la différence $f(z)^2-(1-z)$ est une fonction holomorphe dont toutes les dérivées successives s’annulent en 0 (VAR, R1, p. 27, 3.2.5). Par définition, on vérifie que $f^*=f$.

Soit $g$ une fonction holomorphe sur D telle que $g(z)^2= 1-z$ pour tout $z\in D$ et telle que $g(0) = 1$. La fonction $g$ ne s’annule pas et la fonction continue $f /g$ sur D est à valeurs dans $\{-1,1\}$; puisque D est connexe et que $f(0) =g$(0), on a $f=g$.

a) Pour tous $a$ et $b$ dans A, on a $\lambda (a^*b) =\overline{\lambda(b^*a)}$ et

b) Si A est unifère, alors la forme linéaire $\lambda$ est continue et sa norme est égale à $\lambda (1)$.

L’application $(a, b)\mapsto \lambda (a^*b)$ est une forme hermitienne positive sur A ; elle vérifie donc $\lambda (a^*b) =\lambda (b^*a)$ et $|\lambda (a^*b)|^2\leqslant \lambda (a^*a)\lambda (b^*b)$ pour tous $a$ et $b$ dans A (EVT, V, p. 2, remarque et p. 3, prop. 2).

Démontrons b). Soit $a\in A$ un élément hermitien de norme $<1$. Le rayon spectral de $a$ est inférieur à $\|a\|$, donc le spectre de $a$ est contenu dans le disque unité ouvert D de $\mathbf{C}$ (th. 1 de I, p. 24). Soit $f$ une fonction holomorphe sur D telle que $f(z)^2= 1-z$ pour tout $z\in D$ (lemme 1 de V, p. 435). Appliquons le calcul fonctionnel holomorphe à l’élément $a$ et à la fonction $f$. L’élément $b=f(a)$ vérifie $b^2= 1-a($I, p. 74, th. 5). D’après la prop. 3 de V, p. 435, on a de plus $f(a)^*=f^*(a^*) =f(a)$, donc $b$ est hermitien. Il vient alors $\lambda (1-a) =\lambda (b^*b)\geqslant 0$, d’où $\lambda (a)\leqslant \lambda (1)$.

Soit maintenant $b\in A$ de norme $<1$. L’élément $b^*b$ est hermitien et $\|b^*b\|<1$, donc en appliquant a) avec $a= 1$, on trouve

avec égalité si $b= 1$. La forme linéaire $\lambda$ est donc continue, et sa norme est égale à $\lambda (1)$. L’assertion b) est démontrée.

a) Pour tout $a$ dans A, on a $\lambda (a^*) =\overline{\lambda(a)}$ et $|\lambda (a)|^2\leqslant \|\lambda \|\lambda (a^*a)$;

b) Soit $\widetilde{A}$ l’algèbre involutive obtenue à partir de A par adjonction d’un élément unité et soit $e$ son élément unité. Il existe une forme linéaire positive continue $\widetilde{\lambda}$ sur $\widetilde{A}$ qui prolonge $\lambda$ et telle que $\widetilde{\lambda}(e) =\|\lambda \|$;

c) Pour tous $a$ et $b$ dans A, on a $|\lambda (b^*ab)|\leqslant \|a\|\lambda (b^*b)$.

Démontrons a). Soit $\mathfrak{F}$ une unité approchée de A. Soit $a\in A$. En utilisant le lemme 2, a) et la définition d’une unité approchée, on trouve

$\lambda (a^*) =$ lim$_{f,\mathfrak{F}}\lambda (f a^*) =$ lim$_{f,\mathfrak{F}}\lambda (af^*) =$ lim$_{f,\mathfrak{F}}\lambda ((f a^*)^*) =\overline{\lambda(a)}$,

d’où (loc. cit.)

$|\lambda (a)|^2=$ lim$_{f,\mathfrak{F}}|\lambda (f a)|^2\leqslant \lambda (a^*a)$ lim sup$_{f,\mathfrak{F}}\lambda (f f^*)\leqslant \|\lambda \|\lambda (a^*a)$,

puisque $\mathfrak{F}$ est un filtre sur la boule unité de A.

Pour démontrer b), on peut supposer que $\lambda$ n’est pas nulle, puis que $\|\lambda \|= 1$. Pour $a\in A$ et $z\in \mathbf{C}$, posons $\widetilde{\lambda}(a+z\cdot e) =\lambda (a) +z$. L’application $\widetilde{\lambda}$ est une forme linéaire continue sur $\widetilde{A}$ qui prolonge $\lambda$ et vérifie $\widetilde{\lambda}(e) = 1$. Elle est positive : pour tous $a\in A$ et $z\in \mathbf{C}$, d’après a), on calcule

Finalement, soit $b$ un élément de A. L’application $a\mapsto \widetilde{\lambda}(b^*ab)$ est une forme linéaire positive sur l’algèbre de Banach involutive unifère $\widetilde{A}$. Elle est donc continue de norme égale à sa valeur en $e$ (lemme 2, b)), qui est égale à $\lambda (b^*b)$, d’où l’assertion c).

a) Pour tout espace hilbertien E, tout morphisme d’algèbres involutives $\varphi : A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ et tout vecteur $x\in E$, la forme linéaire définie sur A par $\lambda (a) =\langle x|\varphi (a)x\rangle$ est une forme linéaire positive continue ;

b) Soit $\lambda \in A'_+$. L’application $f$ de $A\times A$ dans $\mathbf{C}$ définie par $f(a, b) =$ $\lambda (a^*b)$ pour tout $(a, b)\in A\times A$ est un noyau universellement positif sur A.

Démontrons a). Pour tout $a\in A$, on a

donc $\lambda$ est une forme linéaire positive sur A ; elle est continue puisque $\varphi$ est continu (prop. 2 de I, p. 104).

Démontrons b). La fonction $f$ est continue. Pour tout $n\in \mathbf{N}$, toute famille $(a_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ dans A et toute famille $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ de nombres complexes, on a

d’où le résultat (déf. 1 de V, p. 433).

On peut supposer que A est une algèbre unifère (lemme 3, b)).

Soit $\lambda$ une forme linéaire positive continue sur A. Soit $(E, g)$ une réalisation hilbertienne cyclique du noyau universellement positif $f$ sur A défini par $f(a, b) =\lambda (a^*b)$ (prop. 4 et th. 1). L’application $g$ est continue, son image est totale dans E, et on a $\lambda (a^*b) =\langle g(a)|g(b)\rangle$ pour tout $(a, b)\in A^2$. Posons $x=g(1)\in E$.

L’application $g$ de A dans E est linéaire : en effet, pour $(a, b, c)\in A^3$ et $(s, t)\in \mathbf{C}^2$, il vient

d’où l’assertion puisque l’image de $g$ est totale dans E.

En particulier, l’image F de $g$ est un sous-espace vectoriel dense de E. Le noyau de $g$ est un idéal à gauche de A : si $g(b) = 0$, alors pour tous $a$ et $c$ dans A, il vient

donc $g(ab) = 0$ puisque F est dense dans E.

Soit $a\in A$. Puisque le noyau de $g$ est un idéal à gauche de A, il existe une application linéaire $\widetilde{\varphi}(a) : F\rightarrow F$ telle que $\widetilde{\varphi}(a)(g(b)) =g(ab)$ pour tout $b\in A$. De plus, pour tout $b\in A$, il vient

(lemme 3, c)), donc $\widetilde{\varphi}(a)$ est continue et de norme $\leqslant \|a\|$. Par conséquent, il existe un unique endomorphisme $\varphi (a)\in \mathscr{L}(E)$ qui induit $\widetilde{\varphi}(a)$ par passage aux sous-espaces.

Soient $a$ et $b$ dans A. On a

pour tout $c$ dans A, donc $\varphi (ab) =\varphi (a)\circ \varphi (b)$ puisque F est dense dans E.

L’application $\varphi$ de A dans $\mathscr{L}(E)$ est linéaire : en effet, pour tout $(a, b)\in A^2$ et tout $(s, t)\in \mathbf{C}^2$, on a

pour tout $c\in A$, d’où $\varphi (sa+tb) =s\varphi (a) +t\varphi (b)$ puisque F est dense dans E. Comme $\|\varphi (b)\|\leqslant \|b\|$ pour tout $b\in A$, l’application $\varphi$ est continue. On a également $\varphi (1) = 1_E$ puisque $\varphi (1)(g(a)) =g(a)$ pour tout $a\in A$ et que F est dense dans E.

Enfin, soient $a,b,c$ dans A. On a

d’où $\varphi (a^*) =\varphi (a)^*$ puisque F est dense dans E.

En conclusion, l’application $\varphi$ est un morphisme continu d’algèbres involutives de A dans $\mathscr{L}(E)$ et $g(a) =\varphi (a)x$ pour tout $a\in A$; par conséquent, le triplet $(E, x, \varphi )$ est une réalisation hilbertienne cyclique de $\lambda$.

a) Il existe une unique application linéaire continue $u$ de $E_1$ dans $E_2$ qui est un morphisme de représentations de $\varphi_1$ dans $\varphi_2($I, p. 11) et qui vérifie $u(\varphi_1(a)x_1) =\varphi_2(a)x_2$ pour tout $a\in A$;

b) L’application linéaire $u$ est isométrique ;

c) Si $(E_2, x_2, \varphi_2)$ est cyclique, alors $u$ est un isomorphisme ;

d) Si $(E_2, x_2, \varphi_2)$ est cyclique et si A est unifère, alors $u(x_1) =x_2$.

Pour $j\in \{1,2\}$, définissons $\gamma_j: A\rightarrow E_j$ par $\gamma_j(a) =\varphi_j(a)x_j$ pour tout $a\in A$. Par définition, les couples $(E_j, \gamma_j)$ sont des réalisations hilbertiennes du noyau universellement positif $f$ sur A défini par $(a, b)\mapsto \lambda (a^*b)$. La réalisation hilbertienne $(E_1, \gamma_1)$ est cyclique ; d’après la prop. 1 de V, p. 434, il existe donc une unique application linéaire continue $u: E_1\rightarrow E_2$ telle que $\gamma_2=u\circ \gamma_1$, et celle-ci est isométrique. De plus, si $(E_2, x_2, \varphi_2)$ est également cyclique, alors $u$ est un isomorphisme. Pour démontrer a), b) et c), il suffit de démontrer que $u$ est un morphisme de représentations de $\varphi_1$ dans $\varphi_2$.

Soit $a\in A$. Pour tout $b\in A$, on a

donc les applications linéaires continues $u\circ \varphi_1(a)$ et $\varphi_2(a)\circ u$ coïncident sur le sous-espace de $E_1$ engendré par l’image de $\gamma_1$; ce sous-espace est dense dans $E_1$ par hypothèse, d’où $u\circ \varphi_1(a) =\varphi_2(a)\circ u$.

Démontrons enfin d). Supposons donc que A est unifère et que $(E_2, x_2, \varphi_2)$ est cyclique. Il existe une réalisation hilbertienne cyclique $(E_3, x_3, \varphi_3)$ de $\lambda$ telle que $\varphi_3$ est un morphisme unifère (prop. 5). Soit $j\in \{1,2\}$. En appliquant ce qui précède à $(E_j, x_j, \varphi_j)$ et $(E_3, x_3, \varphi_3)$, on voit qu’il existe un isomorphisme isométrique $\widetilde{u}_j$ de $E_j$ dans $E_3$ tel que $\widetilde{u}_j\circ \varphi_j(a) =\varphi_3(a)\circ \widetilde{u}_j$ pour tout $a\in A$. En prenant $a= 1_A$, on voit que $\varphi_j$ est unifère. On a alors $x_2=\varphi_2(1_A)x_2=u(\varphi_1(1_A)x_1) =u(x_1)$.

Démontrons d’abord que $\lambda$ est bornée sur l’intersection de $A_+$ et de la boule unité de A. Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe alors une suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ dans $A_+$ telle que $\|x_n\|\leqslant 1$ et $\lambda (x_n)\geqslant n$ pour tout entier $n\geqslant 1$. La série de terme général $n^{-2}x_n$ converge vers un élément $x$ de A (cf. TG, IV, p. 33, exemple 3). Pour tout entier $N\geqslant 1$, comme

$+\infty$

$\sum\frac{1}{n^2}x_n\in A_+$,

$n=N+1$

(I, p. 116, prop. 14) il vient

N N $+\infty$

$\sum\frac{1}{n}\leqslant \sum\frac{1}{n^2}\lambda (x_n) =\lambda (x)-\lambda (\sum\frac{1}{n^2}x_n)\leqslant \lambda (x)$,

$n=1n=1n=N+1$

ce qui est absurde (TG, IV, p. 33, exemple 4).

Comme tout élément de la boule unité de A est combinaison linéaire avec des coefficients bornés par 1 d’au plus quatre éléments positifs de A de norme $\leqslant 1$(I, p. 96, lemme 2 et formule (4) de I, p. 117), on conclut que $\lambda$ est continue.

Il existe des algèbres de Banach involutives qui admettent des formes linéaires positives qui ne sont pas continues (exercice 3, a) de V, p. 493).

Considérons l’espace de Banach réel $A_h$ des éléments hermitiens de A. L’ensemble $A_+$ est un cône convexe fermé pointé saillant dans $A_h$ (prop. 14 de I, p. 116). L’élément $a^*a$ est positif (th. 2 de I, p. 118) et non nul, donc l’élément hermitien $-a^*a$ n’est donc pas positif. D’après EVT, II, p. 42, cor. 5, il existe une forme linéaire réelle continue $\lambda \in A'_h$ telle que $\lambda (-a^*a)<0$ et $\lambda (A_+)\subset \mathbf{R}_+$. La forme linéaire $\lambda$ s’étend en une forme $\mathbf{C}$-linéaire hermitienne sur A (cf. I, p. 98), qui est positive et qui possède la propriété demandée.

Pour tout $b\in A-\{0\}$, soit $\lambda_b$ une forme linéaire positive continue sur A telle que $\lambda_b(b^*b)>0$ (prop. 8). Puisque A admet une unité approchée (I, p. 121, prop. 18), il existe une réalisation hilbertienne $(E_b, x_b, \varphi_b)$ de $\lambda_b$ (prop. 5). Si A est unifère, on peut supposer que $\varphi_b$ est unifère (loc. cit.). On a $\|\varphi_b(b)\|^2=\lambda_b(b^*b)\not = 0$.

Soit E la somme hilbertienne externe des espaces $E_b$ pour $b$ appartenant à A $-\{0\}$. Pour tout $a\in A$, notons $\varphi (a)\in \mathscr{L}(E)$ l’unique application linéaire continue dont la restriction à $E_b$ coïncide avec $\varphi_b(a)$ pour tout $b\in A-\{0\}$. L’application $a\mapsto \varphi (a)$ est un morphisme d’algèbres involutives ; il est injectif, donc isométrique (prop. 9 de I, p. 112), et vérifie $\varphi (1) = 1_E$ si A est unifère. Cela conclut la preuve.

La catégorie dont les objets sont les algèbres stellaires et les morphismes les morphismes d’algèbres involutives est donc équivalente à la catégorie dont les objets sont les sous-algèbres fermées involutives des algèbres d’endomorphismes des espaces hilbertiens, et les morphismes sont les morphismes d’algèbres involutives.