(i) Với mọi tập con compac Y của X và mọi độ đo dương $\mu$ trên Y, tự đồng cấu của $L^2(Y, \mu)$ được xác định bởi hạt nhân $f|(Y\times Y)$ (Định nghĩa 1 của III, p. 29) là dương; nói cách khác, ta có

với mọi $h\in \mathscr{L}^2(Y, \mu)$;

(ii) Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, mọi họ $(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ trong X và mọi họ $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ các số phức, ta có

(iii) Tồn tại một không gian Hilbert phức E và một ánh xạ liên tục $g: X\rightarrow E$ có ảnh toàn phần sao cho $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ với mọi $x$ và $y$ trong X;

(iv) Tồn tại một không gian Hilbert phức E và một ánh xạ liên tục $g: X\rightarrow E$ sao cho $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ với mọi $x$ và $y$ trong X.

Hiển nhiên là (iii) kéo theo (iv), và ta thấy rằng (i) kéo theo (ii) bằng cách xét độ đo rời rạc $\mu$ là ảnh của độ đo đếm trên $\{0, . . . , n\}$ dưới ánh xạ $i\mapsto x_i$ và hàm $h$ sao cho

$x_i=x$

Hãy chứng minh rằng (iv) kéo theo (i). Giả sử tồn tại một không gian Hilbert phức E và một ánh xạ liên tục $g: X\rightarrow E$ sao cho $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ với mọi $(x, y)\in X\times X$. Cho Y là một tập con compac của $X,\mu$ là một độ đo dương trên Y và $h\in \mathscr{L}^2(Y, \mu)$. Ta có

theo INT, V, p. 97, § 8, no$^o4$, Prop. 9.

Cuối cùng, hãy chứng minh rằng (ii) kéo theo (iii). Cho $\widetilde{E}$ là không gian các độ đo phức có giá hữu hạn trên X. Với $\mu_1$ và $\mu_2$ trong $\widetilde{E}$, đặt

Dạng sesquilinear thu được trên $\widetilde{E}$ là một dạng Hermit dương. Thật vậy, cho $\mu\in \widetilde{E}$; tồn tại một họ hữu hạn $(x_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ trong X và các số phức $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ sao cho $\mu=\sum^n_{i=0}t_i\varepsilon_{x_i}$. Khi đó ta có

theo giả thiết. Định nghĩa $\widetilde{g}: X\rightarrow \widetilde{E}$ bởi $\widetilde{g}(x) =\varepsilon_x$. Ảnh của ánh xạ $\widetilde{g}$ sinh ra $\widetilde{E}$. Hơn nữa, với mọi $(x, y)\in X\times X$, một mặt ta có $f(x, y) =\langle \widetilde{g}(x)|\widetilde{g}(y)\rangle$ và mặt khác

điều này kéo theo $\widetilde{g}$ là liên tục vì $f$ là liên tục.

Cho E là không gian Hilbert tách và hoàn thành của $\widetilde{E}$ (EVT, V, p. 8, hệ quả của mệnh đề 4) và $g: X\rightarrow E$ là hợp thành của $\widetilde{g}$ với ánh xạ chính tắc $\widetilde{E}\rightarrow E$. Khi đó ánh xạ $g$ là liên tục, ảnh của nó là toàn phần trong E, và ta có $f(x, y) =\langle g(x)|g(y)\rangle$ với mọi $(x, y)\in X\times X$.

Phương pháp dùng để chứng minh rằng (ii) kéo theo (iii) được gọi là phép dựng Gelfand–Naimark–Segal.

Tính duy nhất của $u$ suy ra từ việc ảnh của $g_1$ là toàn phần trong $E_1$. Đặt $F =\mathbf{C}^{(X)}$ và cho $(e_x)_{x\in X}$ là cơ sở chính tắc của F. Với $j= 1$ và $j= 2$, ký hiệu bởi $u_j$ ánh xạ tuyến tính từ F vào $E_j$ được xác định bởi $u_j(e_x) =g_j(x)$, và ký hiệu bởi $F_j$ ảnh của nó; không gian $F_1$ là trù mật trong $E_1$.

Cho $t=\sum t_xe_x$ là một phần tử của F. Ta có

Do đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính đẳng cự $v$ từ $F_1$ vào $F_2$ sao cho $u_2=v\circ u_1$, và đặc biệt $g_2(x) =v(g_1(x))$ với mọi $x\in X$. Vì ảnh của $g_1$ là toàn phần trong $E_1$, ánh xạ này kéo dài thành một ánh xạ tuyến tính đẳng cự $u$ từ $E_1$ vào $E_2$ sao cho $g_2=u\circ g_1$.

Theo Bổ đề 8 của I, p. 107, ảnh của $u$ là đóng trong $E_2$. Nếu $(E_2, g_2)$ là một thể hiện Hilbert chu trình, thì ảnh của $u$ cũng trù mật trong $E_2$ và do đó $u$ là một đẳng cấu.

số thựcHiển nhiên là nếu$t\geqslant 0$, và rằng $\frac{f}{f}\in \in$ NoyNoy$_{++}(X)$.(X), thì $tf\in$ Noy$_+(X)$ với mọi

Nếu $(E_1, g_1)$ và $(E_2, g_2)$ là các thể hiện Hilbert của các hạt nhân dương phổ dụng $f_1$ và $f_2$ trên X, thì cặp $(E_1\oplus E_2, g_1+g_2)$ (resp. cặp $(E_1\widehat{\otimes}_2E_2, g_1\otimes g_2)$) là một thể hiện Hilbert của $f_1+f_2$ (resp. của $f_1f_2$); do đó đây là các hạt nhân dương phổ dụng.

Đặc trưng hóa (ii) của Noy$_+(X)$ (Định lý 1) kéo theo rằng tập hợp này là đóng trong $\mathscr{C}(X\times X)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn giản.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ I, p. 97. Theo điều đi trước, ánh xạ $\varphi$ từ $\mathscr{O}$(Sp$_A(a)$) vào A được xác định bởi $f\mapsto (f^*(a^*))^*$ là một cấu xạ có đơn vị liên tục từ $\mathscr{O}$(Sp$_A(a)$) vào A sao cho ảnh của mầm trong một lân cận của Sp$_A(a)$ của hàm đồng nhất của $\mathbf{C}$ bằng $a$. Do đó, $\varphi$ là ánh xạ $f\mapsto f(a)$ của phép tính phiếm hàm chỉnh hình (I, p. 74, đl. 5).

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

$n=0$

bằng 1 và tổng của nó $f$ xác định một hàm chỉnh hình trên D (VAR,

R1, p. 27, 3.2.9) nhận giá trị 1 tại 0. Nó thỏa mãn $f(x) =1-x$ với mọi $x\in D\cap \mathbf{R}$ (FVR, III, p. 19), do đó $f(z)^2= 1-z$ với $z\in D$ vì hiệu $f(z)^2-(1-z)$ là một hàm chỉnh hình mà mọi đạo hàm liên tiếp của nó đều triệt tiêu tại 0 (VAR, R1, p. 27, 3.2.5). Theo định nghĩa, ta kiểm tra được rằng $f^*=f$.

Gọi $g$ là một hàm chỉnh hình trên D sao cho $g(z)^2= 1-z$ với mọi $z\in D$ và sao cho $g(0) = 1$. Hàm $g$ không triệt tiêu và hàm liên tục $f /g$ trên D nhận các giá trị trong $\{-1,1\}$; vì D liên thông và $f(0) =g$(0), nên ta có $f=g$.

a) Với mọi $a$ và $b$ trong A, ta có $\lambda (a^*b) =\overline{\lambda(b^*a)}$ và

b) Nếu A có đơn vị, thì dạng tuyến tính $\lambda$ là liên tục và chuẩn của nó bằng $\lambda (1)$.

Ánh xạ $(a, b)\mapsto \lambda (a^*b)$ là một dạng Hermit dương trên A; vì vậy nó thỏa mãn $\lambda (a^*b) =\lambda (b^*a)$ và $|\lambda (a^*b)|^2\leqslant \lambda (a^*a)\lambda (b^*b)$ với mọi $a$ và $b$ trong A (EVT, V, p. 2, nhận xét and p. 3, mđ. 2).

Hãy chứng minh b). Cho $a\in A$ là một phần tử Hermit có chuẩn $<1$. Bán kính phổ của $a$ nhỏ hơn $\|a\|$, do đó phổ của $a$ được chứa trong đĩa đơn vị mở D của $\mathbf{C}$ (Định lý 1 của I, p. 24). Cho $f$ là một hàm chỉnh hình trên D sao cho $f(z)^2= 1-z$ với mọi $z\in D$ (Bổ đề 1 của V, p. 435). Áp dụng phép tính phiếm hàm chỉnh hình cho phần tử $a$ và cho hàm $f$, phần tử $b=f(a)$ thỏa mãn $b^2= 1-a($I, p. 74, Định lý 5). Theo Mệnh đề 3 của V, p. 435, hơn nữa ta có $f(a)^*=f^*(a^*) =f(a)$, do đó $b$ là Hermit. Khi đó ta có $\lambda (1-a) =\lambda (b^*b)\geqslant 0$, do đó $\lambda (a)\leqslant \lambda (1)$.

Bây giờ cho $b\in A$ có chuẩn $<1$. Phần tử $b^*b$ là Hermit và $\|b^*b\|<1$, do đó áp dụng a) với $a= 1$, ta được

với đẳng thức nếu $b= 1$. Vì vậy dạng tuyến tính $\lambda$ là liên tục, và chuẩn của nó bằng $\lambda (1)$. Mệnh đề b) được chứng minh.

a) Với mọi $a$ trong A, ta có $\lambda (a^*) =\overline{\lambda(a)}$ và $|\lambda (a)|^2\leqslant \|\lambda \|\lambda (a^*a)$;

b) Gọi $\widetilde{A}$ là đại số có phép đối hợp thu được từ A bằng phép nối thêm một phần tử đơn vị, và gọi $e$ là phần tử đơn vị của nó. Tồn tại một dạng tuyến tính dương liên tục $\widetilde{\lambda}$ trên $\widetilde{A}$ kéo dài $\lambda$ và sao cho $\widetilde{\lambda}(e) =\|\lambda \|$;

c) Với mọi $a$ và $b$ trong A, ta có $|\lambda (b^*ab)|\leqslant \|a\|\lambda (b^*b)$.

Hãy chứng minh a). Gọi $\mathfrak{F}$ là một đơn vị xấp xỉ của A. Cho $a\in A$. Dùng Bổ đề 2, a) và định nghĩa của đơn vị xấp xỉ, ta được

$\lambda (a^*) =$ lim$_{f,\mathfrak{F}}\lambda (f a^*) =$ lim$_{f,\mathfrak{F}}\lambda (af^*) =$ lim$_{f,\mathfrak{F}}\lambda ((f a^*)^*) =\overline{\lambda(a)}$,

do đó (loc. cit.)

$|\lambda (a)|^2=$ lim$_{f,\mathfrak{F}}|\lambda (f a)|^2\leqslant \lambda (a^*a)$ lim sup$_{f,\mathfrak{F}}\lambda (f f^*)\leqslant \|\lambda \|\lambda (a^*a)$,

vì $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc trên quả cầu đơn vị của A.

Để chứng minh b), ta có thể giả sử rằng $\lambda$ khác không, rồi giả sử rằng $\|\lambda \|= 1$. Với $a\in A$ và $z\in \mathbf{C}$, đặt $\widetilde{\lambda}(a+z\cdot e) =\lambda (a) +z$. Ánh xạ $\widetilde{\lambda}$ là một dạng tuyến tính liên tục trên $\widetilde{A}$ kéo dài $\lambda$ và thỏa mãn $\widetilde{\lambda}(e) = 1$. Nó là dương: với mọi $a\in A$ và $z\in \mathbf{C}$, theo a), ta tính được

Sau cùng, cho $b$ là một phần tử của A. Ánh xạ $a\mapsto \widetilde{\lambda}(b^*ab)$ là một dạng tuyến tính dương trên đại số Banach có đối hợp có đơn vị $\widetilde{A}$. Vậy nên nó liên tục và có chuẩn bằng giá trị của nó tại $e$ (Bổ đề 2, b)), giá trị này bằng $\lambda (b^*b)$, do đó có mệnh đề c).

a) Với mọi không gian Hilbert E, mọi cấu xạ của các đại số có đối hợp $\varphi : A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ và mọi vectơ $x\in E$, dạng tuyến tính xác định trên A bởi $\lambda (a) =\langle x|\varphi (a)x\rangle$ là một dạng tuyến tính dương liên tục;

b) Cho $\lambda \in A'_+$. Ánh xạ $f$ từ $A\times A$ vào $\mathbf{C}$ xác định bởi $f(a, b) =$ $\lambda (a^*b)$ với mọi $(a, b)\in A\times A$ là một hạt nhân dương phổ dụng trên A.

Ta hãy chứng minh a). Với mọi $a\in A$, ta có

vì thế $\lambda$ là một dạng tuyến tính dương trên A; nó liên tục vì $\varphi$ liên tục (Mệnh đề 2 của I, p. 104).

Ta hãy chứng minh b). Hàm $f$ liên tục. Với mọi $n\in \mathbf{N}$, mọi họ $(a_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ trong A và mọi họ $(t_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ các số phức, ta có

do đó có kết quả (Định nghĩa 1 của V, p. 433).

Ta có thể giả sử rằng A là một đại số có đơn vị (Bổ đề 3, b)).

Cho $\lambda$ là một dạng tuyến tính dương liên tục trên A. Cho $(E, g)$ là một hiện thực Hilbert cyclic của hạt nhân dương phổ dụng $f$ trên A xác định bởi $f(a, b) =\lambda (a^*b)$ (Mệnh đề 4 và Định lý 1). Ánh xạ $g$ liên tục, ảnh của nó là toàn phần trong E, và ta có $\lambda (a^*b) =\langle g(a)|g(b)\rangle$ với mọi $(a, b)\in A^2$. Đặt $x=g(1)\in E$.

Ánh xạ $g$ của A vào E là tuyến tính: thật vậy, với $(a, b, c)\in A^3$ và $(s, t)\in \mathbf{C}^2$, ta có

do đó có mệnh đề cần chứng minh, vì ảnh của $g$ là toàn phần trong E.

Đặc biệt, ảnh F của $g$ là một không gian con vectơ trù mật của E. Hạt nhân của $g$ là một iđêan trái của A: nếu $g(b) = 0$, thì với mọi $a$ và $c$ trong A, ta có

vì thế $g(ab) = 0$ do F là trù mật trong E.

Cho $a\in A$. Vì hạt nhân của $g$ là một iđêan trái của A, tồn tại một ánh xạ tuyến tính $\widetilde{\varphi}(a) : F\rightarrow F$ sao cho $\widetilde{\varphi}(a)(g(b)) =g(ab)$ với mọi $b\in A$. Hơn nữa, với mọi $b\in A$, ta có

(bổ đề 3, c)), vì thế $\widetilde{\varphi}(a)$ liên tục và có chuẩn $\leqslant \|a\|$. Do đó, tồn tại một tự đồng cấu duy nhất $\varphi (a)\in \mathscr{L}(E)$ cảm sinh $\widetilde{\varphi}(a)$ khi chuyển qua các không gian con.

Cho $a$ và $b$ thuộc A. Ta có

với mọi $c$ trong A, vì thế $\varphi (ab) =\varphi (a)\circ \varphi (b)$ do F là trù mật trong E.

Ánh xạ $\varphi$ của A vào $\mathscr{L}(E)$ là tuyến tính: thật vậy, với mọi $(a, b)\in A^2$ và mọi $(s, t)\in \mathbf{C}^2$, ta có

với mọi $c\in A$, do đó $\varphi (sa+tb) =s\varphi (a) +t\varphi (b)$ vì F là trù mật trong E. Vì $\|\varphi (b)\|\leqslant \|b\|$ với mọi $b\in A$, ánh xạ $\varphi$ là liên tục. Ta cũng có $\varphi (1) = 1_E$ vì $\varphi (1)(g(a)) =g(a)$ với mọi $a\in A$ và F là trù mật trong E.

Sau cùng, cho $a,b,c$ thuộc A. Ta có

do đó $\varphi (a^*) =\varphi (a)^*$ vì F là trù mật trong E.

Kết luận lại, ánh xạ $\varphi$ là một cấu xạ liên tục của các đại số có đối hợp từ A vào $\mathscr{L}(E)$ và $g(a) =\varphi (a)x$ với mọi $a\in A$; do đó, bộ ba $(E, x, \varphi )$ là một hiện thực Hilbert xiclíc của $\lambda$.

a) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất $u$ từ $E_1$ vào $E_2$ là một cấu xạ của các biểu diễn từ $\varphi_1$ vào $\varphi_2($I, p. 11) và thỏa mãn $u(\varphi_1(a)x_1) =\varphi_2(a)x_2$ với mọi $a\in A$;

b) Ánh xạ tuyến tính $u$ là đẳng cự;

c) Nếu $(E_2, x_2, \varphi_2)$ là cyclic, thì $u$ là một đẳng cấu;

d) Nếu $(E_2, x_2, \varphi_2)$ là cyclic và nếu A có đơn vị, thì $u(x_1) =x_2$.

Với $j\in \{1,2\}$, định nghĩa $\gamma_j: A\rightarrow E_j$ bởi $\gamma_j(a) =\varphi_j(a)x_j$ với mọi $a\in A$. Theo định nghĩa, các cặp $(E_j, \gamma_j)$ là những hiện thực Hilbert của hạt nhân dương phổ dụng $f$ trên A được định nghĩa bởi $(a, b)\mapsto \lambda (a^*b)$. Hiện thực Hilbert $(E_1, \gamma_1)$ là cyclic; do mệnh đề 1 của V, p. 434, vì thế tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất $u: E_1\rightarrow E_2$ sao cho $\gamma_2=u\circ \gamma_1$, và ánh xạ này là đẳng cự. Hơn nữa, nếu $(E_2, x_2, \varphi_2)$ cũng cyclic, thì $u$ là một đẳng cấu. Để chứng minh a), b) và c), chỉ cần chứng minh rằng $u$ là một cấu xạ của các biểu diễn từ $\varphi_1$ vào $\varphi_2$.

Cho $a\in A$. Với mọi $b\in A$, ta có

do đó các ánh xạ tuyến tính liên tục $u\circ \varphi_1(a)$ và $\varphi_2(a)\circ u$ trùng nhau trên không gian con của $E_1$ sinh bởi ảnh của $\gamma_1$; không gian con này trù mật trong $E_1$ theo giả thiết, do đó $u\circ \varphi_1(a) =\varphi_2(a)\circ u$.

Sau cùng, ta chứng minh d). Vậy giả sử A có đơn vị và $(E_2, x_2, \varphi_2)$ là cyclic. Tồn tại một hiện thực Hilbert cyclic $(E_3, x_3, \varphi_3)$ của $\lambda$ sao cho $\varphi_3$ là một cấu xạ có đơn vị (mệnh đề 5). Cho $j\in \{1,2\}$. Áp dụng điều trên cho $(E_j, x_j, \varphi_j)$ và $(E_3, x_3, \varphi_3)$, ta thấy rằng tồn tại một đẳng cấu đẳng cự $\widetilde{u}_j$ từ $E_j$ vào $E_3$ sao cho $\widetilde{u}_j\circ \varphi_j(a) =\varphi_3(a)\circ \widetilde{u}_j$ với mọi $a\in A$. Lấy $a= 1_A$, ta thấy rằng $\varphi_j$ có đơn vị. Khi đó ta có $x_2=\varphi_2(1_A)x_2=u(\varphi_1(1_A)x_1) =u(x_1)$.

Trước hết hãy chứng minh rằng $\lambda$ bị chặn trên giao của $A_+$ với quả cầu đơn vị của A. Giả sử không phải vậy. Khi đó tồn tại một dãy $(x_n)_{n\geqslant 1}$ trong $A_+$ sao cho $\|x_n\|\leqslant 1$ và $\lambda (x_n)\geqslant n$ với mọi số nguyên $n\geqslant 1$. Chuỗi có số hạng tổng quát $n^{-2}x_n$ hội tụ đến một phần tử $x$ của A (cf. TG, IV, p. 33, Ví dụ 3). Với mọi số nguyên $N\geqslant 1$, vì

$+\infty$

$\sum\frac{1}{n^2}x_n\in A_+$,

$n=N+1$

(I, p. 116, Mệnh đề 14), suy ra rằng

N N $+\infty$

$\sum\frac{1}{n}\leqslant \sum\frac{1}{n^2}\lambda (x_n) =\lambda (x)-\lambda (\sum\frac{1}{n^2}x_n)\leqslant \lambda (x)$,

$n=1n=1n=N+1$

điều này là vô lý (TG, IV, p. 33, Ví dụ 4).

Vì mọi phần tử của quả cầu đơn vị của A là một tổ hợp tuyến tính, với các hệ số bị chặn bởi 1, của nhiều nhất bốn phần tử dương của A có chuẩn $\leqslant 1$(I, p. 96, Bổ đề 2 và công thức (4) của I, p. 117), ta kết luận rằng $\lambda$ là liên tục.

Có những đại số Banach đối hợp thừa nhận các dạng tuyến tính dương không liên tục (Bài tập 3, (a) của V, p. 493).

Xét không gian Banach thực $A_h$ của các phần tử Hermit của A. Tập $A_+$ là một nón lồi đóng, nhọn và có đỉnh trong $A_h$ (Mệnh đề 14 của I, p. 116). Phần tử $a^*a$ là dương (Định lý 2 của I, p. 118) và khác không; do đó phần tử Hermit $-a^*a$ không dương. Theo EVT, II, p. 42, Hệ quả 5, tồn tại một dạng tuyến tính thực liên tục $\lambda \in A'_h$ sao cho $\lambda (-a^*a)<0$ và $\lambda (A_+)\subset \mathbf{R}_+$. Dạng tuyến tính $\lambda$ kéo dài thành một dạng tuyến tính Hermit $\mathbf{C}$-tuyến tính trên A (cf. I, p. 98), dạng này là dương và có tính chất cần thiết.

Với mọi $b\in A-\{0\}$, ký hiệu $\lambda_b$ là một dạng tuyến tính dương liên tục trên A sao cho $\lambda_b(b^*b)>0$ (Mệnh đề 8). Vì A thừa nhận một đơn vị xấp xỉ (I, p. 121, Mệnh đề 18), tồn tại một hiện thực Hilbert $(E_b, x_b, \varphi_b)$ của $\lambda_b$ (Mệnh đề 5). Nếu A có đơn vị, có thể giả sử rằng $\varphi_b$ có đơn vị (loc. cit.). Ta có $\|\varphi_b(b)\|^2=\lambda_b(b^*b)\not = 0$.

Cho E là tổng Hilbert ngoài của các không gian $E_b$ với $b$ thuộc A $-\{0\}$. Với mọi $a\in A$, ký hiệu $\varphi (a)\in \mathscr{L}(E)$ là ánh xạ tuyến tính liên tục duy nhất mà hạn chế của nó lên $E_b$ trùng với $\varphi_b(a)$ với mọi $b\in A-\{0\}$. Ánh xạ $a\mapsto \varphi (a)$ là một cấu xạ của các đại số đối hợp; nó đơn ánh, do đó đẳng cự (Mệnh đề 9 của I, p. 112), và thỏa mãn $\varphi (1) = 1_E$ nếu A có đơn vị. Điều này hoàn thành chứng minh.

Phạm trù mà các đối tượng là các đại số stellar và các cấu xạ là các cấu xạ của các đại số đối hợp do đó tương đương với phạm trù mà các đối tượng là các đại số con đối hợp đóng của các đại số các nội cấu xạ của các không gian Hilbert, và các cấu xạ là các cấu xạ của các đại số đối hợp.