Cho $\mathscr{L}_c(E_1; E_2)$ là không gian $\mathscr{L}(E_1; E_2)$ được trang bị tôpô hội tụ compact. Cho $\mathfrak{F}_1$ (tương ứng $\mathfrak{F}_2,\mathfrak{F}_3$) là một cơ sở lọc trong G hội tụ đến $e$ (tương ứng một cơ sở lọc trong $\mathscr{L}_c(E_1; E_2)$ hội tụ đến 0, một cơ sở lọc trong H hội tụ đến $e$). Vì G và H là compact địa phương, tồn tại các phần tử $C\in \mathfrak{F}_1$ và $D\in \mathfrak{F}_3$ tương đối compact. Tập hợp $\varrho_1(C^{-1})$ là đẳng liên tục trong $\mathscr{L}(E_1) ($cf. INT, VIII, p. 129, § 2, n$^o1$, rem. 2, a$'))$. Theo prop. 9 của EVT, III, p. 33 và prop. 4 của EVT, III, p. 31, ánh xạ được xác định bởi $(u, v)\mapsto u\circ v$ từ $\mathscr{L}_c(E_1; E_2)\times \varrho_1(C^{-1})$ vào $\mathscr{L}_c(E_1; E_2)$ là liên tục. Cơ sở lọc $\mathfrak{F}_2\circ \varrho_1(\mathfrak{F}^{-1}_1)$ do đó hội tụ đến 0 trong $\mathscr{L}_c(E_1; E_2)$. Tập hợp $\varrho_2(D)$ là đẳng liên tục trong $\mathscr{L}(E_2) ($cf. INT, VIII, p. 129, § 2, n$^o1$, rem. 2), và với mọi $x\in E_2$, tập hợp $\varrho_2(D)x\subset E_2$ là tương đối compact. Do đó, $\varrho_2(D)$ là tương đối compact trong $\mathscr{L}(E_2)$ được trang bị tôpô hội tụ compact (TG, X, p. 18, cor. 1). Ánh xạ được xác định bởi $(u, v)\mapsto u\circ v$ từ $\overline{\varrho_2(D)}\times \mathscr{L}_c(E_1; E_2)$ vào $\mathscr{L}_c(E_1; E_2)$ là liên tục theo prop. 9 của EVT, III, p. 33 và prop. 4 của EVT, III, p. 31. Vì vậy cơ sở lọc $\varrho (\mathfrak{F}_1\times \mathfrak{F}_3)(\mathfrak{F}_2)$ hội tụ đến 0 trong $\mathscr{L}_c(E_1; E_2)$. Điều này kéo theo mệnh đề.

Điều này suy ra từ mệnh đề bằng cách lấy $H =\{e\},\varrho_1=\varrho$ và $\varrho_2$ là biểu diễn tầm thường trên K.

Từ những điều đã nêu trên, chỉ cần chứng minh rằng cấu xạ $\nu \mapsto \varrho (\nu )$ là đối hợp. Cho $\nu \in \mathscr{M}^1(G)$. Độ đo $\nu^*$ là độ đo liên hợp của độ đo $\check{\nu}($I, p. 99, ví dụ 4). Theo định nghĩa của độ đo liên hợp (INT, III, p. 52, § 1, n$^o5$), ta tính được

với mọi $x$ và $y$ trong E, do đó $\varrho (\nu )^*=\varrho (\nu^*)$.

Cho $\varrho$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục (tương ứng liên tục và bị chặn) của G trong một không gian lồi địa phương gần đầy đủ E (tương ứng một không gian Banach E). Nếu F là một không gian con đóng của E xác định một biểu diễn con $\varrho_F$ của $\varrho$, thì với mọi độ đo $\nu \in \mathscr{M}_c(G)$ (tương ứng $\nu \in \mathscr{M}^1(G)$), ánh xạ tuyến tính $\varrho (\nu )$ giữ ổn định không gian con F và trùng với $\varrho_F(\nu )$ trên F.

Ngược lại, cho $F\subset E$ là một không gian con đóng, ổn định dưới các ánh xạ tuyến tính $\varrho (f)$ với mọi hàm $f\in \mathscr{K}(G)$. Khi đó F xác định một biểu diễn con của $\varrho$ (INT, VIII, p. 139, § 2, n$^o7$, mệnh đề 10).

Nhắc lại (A, VIII, p. 388) rằng một hàm $f: G\rightarrow \mathbf{C}$ được gọi là trung tâm nếu, với mọi $g$ và $h$ trong G, ta có $f(gh) =f(hg)$. Điều này tương đương với việc nói rằng $f$ là bất biến qua phép liên hợp.

Khi đó biểu diễn unita $\varrho$ là nửa đơn và mọi biểu diễn unita bất khả quy của G có bội số hữu hạn trong $\varrho$.

Trước hết ta hãy chứng minh một bổ đề.

Ta có thể giả sử rằng $\varrho_1$ là một biểu diễn con của $\varrho$. Cho $E_1$ là không gian của nó. Với mọi độ đo $\nu \in M$, tự đồng cấu $\varrho_1(\nu )$ được suy ra từ $\varrho (\nu )$ bằng cách chuyển qua các không gian con. Giả thiết và mệnh đề 3 của III, p. 5 do đó suy ra rằng $\varrho_1(\nu )$ là compact.

Vì $\mathfrak{F}$ hội tụ đến độ đo $\varepsilon_e$ trong $\mathscr{M}_c(G)$ được trang bị tôpô của sự hội tụ compact và vì không gian $E_1$ là khác không, tồn tại $\nu \in M$ sao cho $v=\varrho_1(\nu )$ là một tự đồng cấu khác không của $E_1$ (xem No.$^o2$ của V, p. 400). Tự đồng cấu $u=\varrho_1(\check{\nu}*\nu )$ bằng $v^*\circ v$ (bổ đề 1 của V, p. 401); do đó nó khác không (EVT, V, p. 39, mệnh đề 2), Hermit và compact, vì $v$ là compact.

Vì $u$ là Hermit và khác không, phổ của nó không thu gọn về không (ví dụ 1 của I, p. 110). Cuối cùng, vì $u$ là compact, mọi $\lambda \in$ Sp($u$)$-\{0\}$ là một trị riêng của $u$ (mệnh đề 2 của III, p. 83).

Bây giờ chứng minh mệnh đề.

Ta sẽ dùng mệnh đề 7 của V, p. 391 để thiết lập rằng $\varrho$ là nửa đơn. Cho $\varrho_1$ là một biểu diễn con khác không của $\varrho$, và $E_1\subset E$ là không gian của nó; ta phải chứng minh rằng $\varrho_1$ chứa một biểu diễn con bất khả quy.

Cho $\nu \in M$ sao cho $u=\varrho_1(\check{\nu}*\nu )$ là một tự đồng cấu Hermit compact khác không của không gian của $\varrho_1$, và cho $\lambda$ khác không sao cho không gian con riêng F của $u$ ứng với $\lambda$ là khác không (bổ đề 2). Không gian F có số chiều hữu hạn (mệnh đề 5 của III, p. 90). Tồn tại một biểu diễn con $\varrho_2$ của $\varrho_1$ trên một không gian con $E_2$ của $E_1$ sao cho $E_2\cap F$ là khác không và có chiều cực tiểu. Cho $x$ là một phần tử khác không của $E_2\cap F$, và cho $E_3$ là biểu diễn con của $\varrho_1$ sinh bởi $x$. Khi đó $E_3\subset E_2$, do đó $E_3\cap F = E_2\cap F$ bởi tính cực tiểu của chiều của $E_2\cap F$.

Ta chứng minh rằng biểu diễn $E_3$ là bất khả quy. Cho $E_4\subset E_3$ là một không gian con đóng ổn định dưới G. Ta có $E_2\cap F = (E_4\cap F)\oplus (E^{\circ}_4\cap F)$, trong đó $E^{\circ}_4$ chỉ phần trực giao của $E_4$ trong $E_3$ (thực vậy, nếu $y\in E_2\cap F$, gọi $y_4\in E_4$ là phép chiếu trực giao của nó trên $E_4$; vì $E_4$ và $E^{\circ}_4$ ổn định dưới $u$, vectơ $u(y_4)$ là phép chiếu trực giao của $u(y) =\lambda y$ trên $E_4$, do đó $u(y_4) =\lambda y_4$, điều này có nghĩa là $y_4\in E_4\cap F$, và mệnh đề được suy ra). Tính cực tiểu của chiều của $E_2\cap F$ khi đó suy ra rằng hoặc là $E_4\cap F = E_2\cap F$, hoặc là $E^{\circ}_4\cap F = E_2\cap F$. Trong trường hợp thứ nhất, ta có $x\in E_4$, do đó $E_4= E_3$, và trong trường hợp thứ hai, ta có $x\in E^{\circ}_4$, do đó $E^{\circ}_4= E_3$ và $E_4=\{0\}$. Biểu diễn $E_3$ do đó là bất khả quy.

Suy ra từ Mệnh đề 7 của V, p. 391 rằng biểu diễn $\varrho$ là nửa đơn.

Cho $\pi$ là một biểu diễn đơn vị bất khả quy của G có bội số trong $\varrho$ khác không; gọi $E_{\pi}$ là không gian của nó. Tồn tại một độ đo $\nu \in M$ và một số thực khác không $\lambda$ sao cho $u=\pi (\check{\nu}*\nu )$ là một tự đồng cấu Hermit compact khác không của $E_{\pi}$ và không gian con thực sự của $u$ tương ứng với $\lambda$ là khác không (Bổ đề 2). Gọi F là không gian con thực sự của $v=\varrho (\check{\nu}*\nu )$ tương ứng với $\lambda$. Với mọi biểu diễn con $E_1$ của E đẳng cấu với $\pi$, tự đồng cấu của $E_1$ suy ra từ $v$ bằng cách chuyển qua các không gian con được đồng nhất với $u$, do đó giao của $E_1$ và F là khác không. Vì vậy, bội số của $\pi$ trong $\varrho$ nhỏ hơn chiều của không gian F, là hữu hạn (Mệnh đề 5 của III, p. 90).

Chính xác hơn, cho $q$ là số mũ liên hợp của $p$ và cho $g$ là một phần tử của G sao cho $g\not =e$.

a) Tồn tại một hàm $\varphi \in \mathscr{K}(G)$, dương và khác không trong $L^q(G, \mu)$, sao cho $\langle \varphi ,\boldsymbol{\gamma }^{(p)}_G(g)\varphi \rangle = 0$;

b) Tồn tại một hàm $\varphi \in \mathscr{K}(G)$, dương và khác không trong $L^q(G, \mu')$, sao cho $\langle \varphi ,\boldsymbol{\delta }^{(p)}_G(g)\varphi \rangle = 0$.

Ta xét trường hợp của biểu diễn chính quy trái $\boldsymbol{\gamma }^{(p)}_G$, trường hợp của biểu diễn chính quy phải là tương tự. Mệnh đề a) suy ra rằng $\boldsymbol{\gamma }^{(p)}_G$ là trung thành, vì nếu $g\not =e$ là một phần tử của G, và nếu $\varphi$ là như trong a), thì ta có $\varphi \not =\boldsymbol{\gamma }^{(p)}_G(g)\varphi$ vì $\langle \varphi , \varphi \rangle =\int_G\varphi^2>0$.

Do đó ta hãy chứng minh a). Cho $g\not =e$ trong G. Cho C là một lân cận compact đối xứng của $e$ sao cho $g \notin C^2$ và cho $\varphi \in \mathscr{K}(G)$ là một hàm liên tục dương có nguyên bằng 1 với giá chứa trong C; hàm $\varphi$ là khác không trong $L^p(G, \mu)$. Vì $C\cap g^{-1}C =\emptyset$, ta có

Cho $\varrho$ là một biểu diễn bị chặn liên tục của G trong một không gian Banach E. Với mọi $f\in L^1(G)$ (tương ứng $f'\in L^1(G, \mu')$) và mọi $g\in G$, ta có

(1) $\varrho (g)\varrho (f\cdot \mu) =\varrho (\varepsilon_g*(f\cdot \mu)) =\varrho (\boldsymbol{\gamma }^{(1)}_G(g)f\cdot \mu)$,

(2) $\varrho (f'\cdot \mu')\varrho (g) =\varrho ((f'\cdot \mu')*\varepsilon_g) =\varrho (\boldsymbol{\delta }^{(1)}_G(g^{-1})f'\cdot \mu')$

(INT, VIII, p. 144, § 3, n$^o2$, công thức (5)).

Giả sử G đơn môđula, và đặt $\mu'=\mu$. Biểu diễn chính quy hai bên của G trong $\mathscr{L}^p(G)$ (tương ứng trong $L^p(G)$) là biểu diễn $\boldsymbol{\varrho }^{(p)}_G$ của $G\times G$ trong $\mathscr{L}^p(G)$ (tương ứng trong $L^p(G)$) sao cho

Đó là một biểu diễn tuyến tính liên tục (Bổ đề 1 của V, p. 377). Nó thỏa mãn

với mọi $f\in \mathscr{L}^p$(G), mọi $(g_1, g_2)\in G\times G$ và mọi $x\in G$.

Điều này suy ra từ INT, VIII, p. 157, § 4, No.$^o2$, Mệnh đề 6, có tính đến công thức (14) của INT, VIII, p. 165.

hội tụ. Khi đó chuỗi với số hạng tổng quát $f_n(g)$ hội tụ tuyệt đối đối với $g$ nằm ngoài một tập hợp T không đáng kể modulo H. Cho $f$ là hàm trên G nhận giá trị trong E bằng tổng của chuỗi này trên G - T và bằng 0 trên T. Khi đó ta có $f\in \mathscr{F}_{\pi}^p(G)$ và chuỗi với số hạng tổng quát $f_n$ hội tụ về $f$ trong không gian $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$;

b) Cho $(f_n)$ là một dãy hội tụ trong $\mathscr{L}_{\pi}^p(G)$ về một hàm $f$. Tồn tại một dãy con $(f_{n_k})$ được trích ra từ $(f_n)$ sao cho $f_{n_k}(g)$ hội tụ về $f(g)$ với mọi $g$ nằm ngoài một tập hợp không đáng kể modulo H;

c) Các không gian nửa chuẩn $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$ và $\mathscr{L}_{\pi}^p(G)$ là đầy đủ.

Trong mệnh đề a), nói rằng chuỗi với số hạng tổng quát $f_n$ hội tụ về $f$ trong không gian $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$ có nghĩa là dãy các tổng riêng phần $f_0+\cdots +f_n$ hội tụ về $f$ trong $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$. Khi đó người ta cũng nói rằng $f$ là một tổng của chuỗi này.

Ta chứng minh a). Theo prop. 6 của INT, IV, p. 128, § 3, n$^o3$, tồn tại một tập hợp S không đáng kể đối với $\nu$ trong $G/H$ sao cho chuỗi với số hạng tổng quát $\|f_n(gH)\|$ hội tụ tuyệt đối đối với $gH\notin S$. Hơn nữa, hàm $h$ bằng tổng của chuỗi này đối với $gH\notin S$ và bằng không đối với $gH\in S$ thỏa mãn $N_p(h)<+\infty$.

Tập hợp $T =\overset{-1}{\varpi}(S)$ là không đáng kể modulo H. Với mọi $g \notin T$, chuỗi có số hạng tổng quát $f_n(g)$ hội tụ tuyệt đối trong E. Định nghĩa $f(g) =\sum f_n(g)$ với $g \notin T$ và $f(g) = 0$ trong trường hợp ngược lại. Ta có $f\in$ $\mathscr{F}_{\pi}(G)$. Chú ý rằng $\|f(gH)\|\leqslant h(gH)$ với mọi $g\in G$, do đó $N_p(f)\leqslant$ $N_p(h)<+\infty$. Vậy $f\in \mathscr{F}_{\pi}^p(G)$. Tương tự, ta thu được

với mọi $k\in \mathbf{N}$, do đó chuỗi $\sum f_n$ hội tụ tới $f$ trong $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$. Mệnh đề a) được chứng minh.

Ta chứng minh b). Dãy $(\|f_n-f\|)_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ tới 0 trong không gian $\mathscr{L}^p(G/H)$. Theo INT, IV, p. 131, § 4, n$^o3$, đl. 3, tồn tại một dãy con $(\|f_{n_k}-f\|)_{k\in\mathbf{N}}$ hội tụ $\nu$-hầu khắp nơi tới 0. Khi đó dãy $(f_{n_k}(g))_{k\in\mathbf{N}}$ hội tụ tới $f(g)$ với mọi $g$ nằm ngoài một tập hợp không đáng kể modulo H.

Cuối cùng, ta chứng minh c). Cho $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy Cauchy trong $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$. Tồn tại một dãy tăng ngặt các số nguyên $(n_k)_{k\in\mathbf{N}}$ sao cho $N_p(f_{n_{k+1}}-f_{n_k})\leqslant 2^{-k}$ với mọi $k\in \mathbf{N}$. Với mọi $k\in \mathbf{N}$, đặt $h_k$ = $f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\in \mathscr{F}_{\pi}^p(G)$. Theo a), chuỗi có số hạng tổng quát $h_k$ hội tụ trong $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$; ký hiệu $h$ là tổng của nó. Với mọi $\ell \in \mathbf{N}$, ta có

do đó $f_{n_0}+h$ là một giá trị cụm của dãy $(f_n)$. Nó vì thế hội tụ (TG, II, p. 14, hệ quả 2 của mệnh đề 5). Vậy không gian $\mathscr{F}_{\pi}^p(G)$ là đầy đủ; vì không gian $\mathscr{L}_{\pi}^p(G)$ là đóng trong $\mathscr{F}_{\pi}^p$(G), nó cũng đầy đủ.