Vì E là hữu hạn chiều, tồn tại một cấu trúc không gian Hilbert trên E. Kết quả suy ra bằng cách áp dụng nhận xét đứng trước và hệ quả 2 của V, p. 392.

Điều này suy ra từ mệnh đề và hệ quả 3 của V, p. 392.

Thật vậy, các hệ số ma trận của một biểu diễn unita bất khả quy là liên tục và bị chặn, do đó khả tích bình phương trên G, vì G là compact.

Vì biểu diễn $\pi$ là khả tích bình phương (bổ đề 1), bậc hình thức $c_\mu(\pi )$ của nó đối với $\mu$ được xác định (định nghĩa 4 của V, p. 423); đó là một số thực dương ngặt. Cho $(e_i)_{i\in I}$ là một họ trực chuẩn hữu hạn trong E. Cho $x$ là một phần tử của E có chuẩn bằng 1 (có một phần tử như vậy vì E khác không). Với $i\in I$, ta có

(prop. 8 of V, p. 424). Hãy lấy tổng công thức này theo $i\in I$. Ta được

Card(I) $=c_\mu(\pi )\int_G\sum_{i\in I}|\langle e_i|\pi (g)x\rangle |^2d\mu(g)$

theo bất đẳng thức Bessel (EVT, V, p. 21, prop. 4). Do đó lực lượng của I bị chặn trên bởi $c_\mu(\pi )$. Điều này kéo theo chiều của E là hữu hạn.

Khi đó có thể áp dụng điều trên cho một cơ sở trực chuẩn $(e_i)_{i\in I}$ của E. Theo EVT, V, p. 22, prop. 5, ta được

dim(E) $=c_\mu(\pi )\int_G\sum_{i\in I}|\langle e_i|\pi (g)x\rangle |^2d\mu(g)$

điều này hoàn tất chứng minh.

Đặc biệt, do đó được phép nói đến đặc trưng $\chi_{\pi}$ của một biểu diễn unita bất khả quy $\pi$ của G. Đó là một hàm liên tục trên G.

Cho $x\in G$. Vì G là đơn môđula, ta có $\chi^*_{\pi}(x) =$ Tr($\pi (x^{-1})$), do đó $\chi^*_{\pi}(x) =$ Tr($\pi (x)$) vì $\pi$ là một biểu diễn unita.

$\int'$ 1 $''$

$_G$ dim(E)

với mọi $(x, y, x', y')\in E^4$;

b) Cho $\pi_1($tương ứng $\pi_2)$ là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert $E_1($tương ứng $E_2)$. Nếu $\pi_1$ và $\pi_2$ không đẳng cấu, ta có

với mọi $(x, x', y, y')\in E^2_1\times E^2_2$.

Điều này suy ra ngay từ Mệnh đề 8 của V, p. 424 và Mệnh đề 9 của V, p. 424, có tính đến Bổ đề 1 và công thức $c_\mu(\pi ) =$ dim(E) (Mệnh đề 2).

Điều này suy ra từ Mệnh đề 1 của V, p. 457 và Hệ quả 2, khi nhận thấy rằng với mọi cơ sở trực chuẩn $(e_i)_{i\in I}$ của không gian của một biểu diễn unita hữu hạn chiều $\pi$ của G, và với mọi $g\in G$, ta có công thức

$\chi_{\varrho}=\sum_{\pi\in\widehat{G}}$ dim(Hom$_G(\pi , \varrho )$)$\chi_{\pi}=\sum_{\pi\in\widehat{G}}$ dim(Hom$_G(\varrho , \pi )$)$\chi_{\pi}$.

b) Cho $\varrho_1$ và $\varrho_2$ là các biểu diễn liên tục hữu hạn chiều của G. Ta có

$\langle \chi_{\varrho_1}|\chi_{\varrho_2}\rangle =$ dim(Hom$_G(\varrho_1, \varrho_2)$) $=$ dim(Hom$_G(\varrho_2, \varrho_1)$).

c) Một biểu diễn liên tục hữu hạn chiều $\varrho$ của G là bất khả quy khi và chỉ khi $\|\chi_{\varrho}\|^2= 1$.

Vì $\varrho$ là nửa đơn, nó đẳng cấu với tổng trực tiếp của các thành phần đẳng kiểu $\pi$ của nó $M_{\pi}(\varrho )$ với $\pi \in \widehat{G}$. Ký hiệu $m_{\pi}(\varrho )$ là bội số của $\pi$ trong $\varrho$ (Định nghĩa 10 của V, p. 398), khi đó ta có

Mệnh đề a) do đó suy ra từ sự kiện rằng

$m_{\pi}(\varrho ) =$ dim Hom$_G(\pi , \varrho ) =$ dim Hom$_G(\varrho , \pi )$

(công thức (1) của V, p. 377 và Hệ quả 2 của V, p. 387).

Bởi tính song tuyến tính và tính trực chuẩn của các đặc trưng, mệnh đề a) kéo theo rằng

$\langle \chi_{\varrho_1}|\chi_{\varrho_2}\rangle =\sum_{\pi\in\widehat{G}}$ dim(Hom$_G(\pi , \varrho_1)$) dim(Hom$_G(\pi , \varrho_2)$), và mặt khác ta có các đẳng cấu chính tắc

Hom$_G(\varrho_1, \varrho_2)\rightarrow \bigoplus_{(\pi_1,\pi_2)\in\widehat{G}\times\widehat{G}}$ Hom$_G(M_{\pi_1}(\varrho_1),M_{\pi_2}(\varrho_2))$

$\rightarrow \bigoplus_{\pi\in\widehat{G}}$ Hom$_G(M_{\pi}(\varrho_1),M_{\pi}(\varrho_2))$

(công thức (1) của V, p. 377), do đó suy ra rằng

dim(Hom$_G(\varrho_1, \varrho_2)$) $=\sum_{\pi\in\widehat{G}}m_{\pi}(\varrho_1)m_{\pi}(\varrho_2)$,

do đó mệnh đề b). Mệnh đề c) cũng suy ra từ a) và Bổ đề Schur (mệnh đề 6 của V, p. 386).

Đặc trưng của $\pi_2$ là một hàm trung tâm liên tục trên G, do đó ánh xạ tuyến tính $u$ = $\pi_1(\overline{\chi}_{\pi_2})$ được xác định và thuộc không gian Hom$_G(\pi_1, \pi_1)$. Nó là một phép vị tự theo Bổ đề Schur (mệnh đề 6 của V, p. 386), với vết là

Tr($u$) $=$ Tr$(\int_G\overline{\chi_{\pi_2}(g)}\pi_1(g)d\mu(g))$

Theo các quan hệ trực giao, vết của $u$ vì thế bằng không nếu $\pi_1$ không đẳng cấu với $\pi_2$, và bằng 1 trong trường hợp ngược lại. Mệnh đề được suy ra.

Theo hệ quả 6 của V, p. 389, ánh xạ $b$ được xác định tốt.

Cho $\pi_1$ và $\pi_2$ là các phần tử của $\widehat{G}$. Cho $\pi \in \widehat{G}$. Thành phần đẳng kiểu theo $\pi$ của hạn chế $\varpi$ của $\pi_1\boxtimes \pi_2$ lên $G_1\times \{e\}$ bằng $\varpi$ nếu $\pi_1=\pi$ và bằng không trong trường hợp ngược lại (bổ đề 8 của V, p. 384). Do đó, biểu diễn unita $\pi_1\boxtimes \pi_2$ xác định $\pi_1$ tới đẳng cấu; tương tự, nó xác định $\pi_2$, điều này chứng minh rằng $b$ là đơn ánh.

Ta hãy chứng minh rằng $b$ là toàn ánh. Cho $\pi$ là một biểu diễn unita bất khả quy của $G_1\times G_2$ trong một không gian Hilbert E. Nó là hữu hạn chiều (mệnh đề 2). Cho $\pi_1$ là một biểu diễn unita bất khả quy của $G_1$ trong một không gian Hilbert $E_1$ sao cho hạn chế của $\pi$ lên $G_1\times \{e\}$ chứa một biểu diễn con đẳng cấu với $\pi_1$ (bổ đề 3 của V, p. 379). Đặt F = Hom$_{G_1}(\pi_1, \pi )$. Đó là một không gian vectơ hữu hạn chiều khác không. Với $h\in G_2$ và $u\in F$, gọi $\varrho (h)(u)$ là ánh xạ tuyến tính từ $E_1$ vào E được xác định bởi $x\mapsto \pi (e, h)(u(x))$. Vì $G_1\times \{e\}$ và $\{e\} \times G_2$ giao hoán trong G, ánh xạ $\varrho (h)(u)$ thuộc không gian F. Ánh xạ $\varrho$ là một biểu diễn tuyến tính của $G_2$ trong không gian F; nó liên tục. Vì F không thu về 0, tồn tại một biểu diễn con bất khả quy $\pi_2$ của $\varrho$ (bổ đề 3 của V, p. 379). Gọi $E_2$ là không gian của $\pi_2$. Khi đó ánh xạ tuyến tính $v: E_1\otimes E_2\rightarrow E$ sao cho $x\otimes u\mapsto u(x)$ với $x\in E_1$ và $u\in E_2$ là một cấu xạ G khác không từ $\pi_1\boxtimes \pi_2$ vào $\pi$; vì các biểu diễn $\pi$ và $\pi_1\boxtimes \pi_2$ là bất khả quy và hữu hạn chiều, cấu xạ $v$ là một đẳng cấu (bổ đề 2 của V, p. 378).

Mệnh đề này cần được so sánh với định lý 1 của A, VIII, p. 208.

Đại số con có đơn vị Θ(G) của $\mathscr{C}(G)$ ổn định dưới phép liên hợp. Nó trùng với đại số con Υ(G) theo mệnh đề 2 của V, p. 457, do đó nó phân biệt các điểm của G (hệ quả của định lý 4 của V, p. 454). Do đó, nó trù mật trong $\mathscr{C}(G)$ theo TG, X, p. 40, cor. 2, và, a fortiori, nó trù mật trong không gian $L^2(G) ($xem INT, IV, p. 155, §4, n$^o7$, mệnh đề 13).

Nhớ rằng biểu diễn biregular unita của G là biểu diễn $\boldsymbol{\varrho }_G$ của $G\times G$ trong $L^2(G)$ sao cho $(g_1, g_2)\mapsto \boldsymbol{\gamma }_G(g_1)\boldsymbol{\delta }_G(g_2)$.

Theo mệnh đề 7 của V, p. 422 (áp dụng với $Z =\{e\}$), không gian $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ là một biểu diễn con của $\boldsymbol{\varrho }_G$ và ánh xạ tuyến tính từ $\overline{E}_{\pi}\otimes E_{\pi}$ vào $L^2(G)$ gán cho $x\otimes y$ hệ số ma trận $g\mapsto \langle x|\pi (g)y\rangle$ là một $(G\times$ G)-đẳng cấu của $\overline{\pi}\boxtimes \pi$ lên $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$. Do đó biểu diễn con $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ là bất khả quy (mệnh đề 3 của V, p. 461).

Các không gian $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ trực giao từng đôi một; chúng là các biểu diễn con bất khả quy của biểu diễn song chính quy của G (mệnh đề 5) và đôi một không đẳng cấu (mệnh đề 3 của V, p. 461). Khi đó định lý suy ra từ tính chất rằng tổng Θ(G) của các không gian $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ khi $\pi$ chạy qua $\widehat{G}$ là trù mật trong $L^2(G)$ (mệnh đề 4).

Cho F là thành phần đẳng kiểu $(\overline{\pi}\boxtimes \pi$) của $\boldsymbol{\varrho }_G$. Không gian F chứa $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ (mệnh đề 5). Hơn nữa, với mọi $\tau \in \widehat{G}$ khác $\pi$, giao của F và $\boldsymbol{\varrho }_G(\tau )$ bằng không (mệnh đề 3 của V, p. 461). Suy ra $F =\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ do áp dụng định lý.

$\pi \bigoplus\in \widehat{G}\pi$dim($\pi$ ).

Theo định lý và mệnh đề 5, hạn chế của biểu diễn song chính quy của G lên nhóm con $H =\{e\} \times G$ đẳng cấu với tổng Hilbert của các hạn chế lên H của các biểu diễn $\overline{\pi}\boxtimes \pi$ với $\pi \in \widehat{G}$. Các biểu diễn này đẳng cấu với tổng trực tiếp của dim($\pi$ ) bản sao của $\pi$ (bổ đề 8 của V, p. 384). Điều này kéo theo kết quả đối với biểu diễn chính quy phải, và trường hợp của biểu diễn chính quy trái là tương tự.

Lập luận tương tự như của hệ quả trước, khi xem $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ như một biểu diễn con của $\boldsymbol{\delta }_G$ (tương ứng, của $\boldsymbol{\gamma }_G$).

a) Không gian Θ(G) ;

b) Tổng đại số trực tiếp của các không gian con $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ của $L^2(G)$;

c) Không gian các vectơ G-hữu hạn (xem V, p. 376) của $\boldsymbol{\gamma }_G$;

d) Không gian các vectơ G-hữu hạn của $\boldsymbol{\delta }_G$;

e) Không gian các vectơ $(G\times G)$-hữu hạn của $\boldsymbol{\varrho }_G$.

Đặc biệt, mọi vectơ G-hữu hạn của $\boldsymbol{\gamma }_G,\boldsymbol{\delta }_G$ hoặc $\boldsymbol{\varrho }_G$ đều thuộc $\mathscr{C}(G)$.

Ký hiệu bởi $F_a$ (tương ứng $F_b, F_c, F_d, F_e$) không gian được xác định bởi điều kiện a) (tương ứng b), c), d), e)). Ta đã nhận thấy rằng $F_a= F_b$.

Ta có $F_b\subset F_c$ vì $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ là một biểu diễn con hữu hạn chiều của $\boldsymbol{\gamma }_G$ với mọi $\pi \in \widehat{G}$. Ngược lại, giả sử $f$ là một vectơ G-hữu hạn của $\boldsymbol{\gamma }_G$. Không gian con $E_f$ sinh bởi các hàm $\boldsymbol{\gamma }_G(g)f$ với $g\in G$ là một biểu diễn con hữu hạn chiều của $\boldsymbol{\gamma }_G$. Nó bằng tổng trực tiếp các thành phần đẳng kiểu của nó ứng với $\pi \in \widehat{G}$ (Mệnh đề 1 của V, p. 457). Theo Hệ quả 4 của V, p. 463, điều này kéo theo rằng $E_f$ được chứa trong tổng các không gian $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$, do đó $F_c\subset F_b$.

Bằng lập luận tương tự, ta được $F_b= F_d$, và vì $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ là một biểu diễn con của $\boldsymbol{\varrho }_G$, ta cũng thiết lập theo cùng cách ấy rằng $F_b= F_e$.

Thật vậy, mọi phần tử của E đều là một vectơ G-hữu hạn của biểu diễn $\boldsymbol{\gamma }_G$.

Cho $x\in E$ và U là một lân cận mở của $x$. Tập hợp các độ đo $\nu \in \mathscr{M}(G)$ sao cho $\varrho (\nu )x\in U$ là mở trong $\mathscr{M}(G)$ đối với tôpô hội tụ compact (xem n$^o2$ của V, p. 400). Nó chứa $\varepsilon_e$, vì thế nó chứa một độ đo dạng $\nu =f_1\cdot \mu$ trong đó $f_1\in \mathscr{C}(G)$ (INT, VIII, p. 171, § 4, n$^o7$, Mệnh đề 19) và, do đó, nó chứa một độ đo dạng $f_2\cdot \mu$ trong đó $f_2$ là một hàm G-hữu hạn (Mệnh đề 6 của V, p. 464 và Mệnh đề 4 của V, p. 462).

Biểu diễn con F của $\boldsymbol{\gamma }_G$ sinh bởi $f_2$ là hữu hạn chiều. Gọi $\widetilde{F}$ là ảnh của ánh xạ tuyến tính $f\mapsto \varrho (f)x$ từ F vào E. Không gian $\widetilde{F}$ là hữu hạn chiều, và nó chứa phần tử $\varrho (f_2)x$ của U. Vì $\varrho (g)\varrho (f) =\varrho (\boldsymbol{\gamma }_G(g)f)$ với mọi $g\in G$ và mọi $f\in F$ (công thức (1) của V, p. 406), không gian $\widetilde{F}$ là một biểu diễn con của $\varrho$ giao với U. Mệnh đề được chứng minh.

a) Cấu xạ G $p_{\pi}=$ dim($\pi$ )$\varrho (\overline{\chi}_{\pi})$ từ E vào E là một phép chiếu liên tục của E mà ảnh là thành phần đẳng kiểu theo $\pi$ của $\varrho$;

b) Nếu $\varrho$ là một biểu diễn unita, thì phép chiếu $p_{\pi}$ là phép chiếu trực giao của E có ảnh là $M_{\pi}(\varrho )$.

Ta chứng minh a). Ánh xạ tuyến tính $p_{\pi}=$ dim($\pi$ )$\varrho (\overline{\chi}_{\pi})$ được xác định tốt, vì E là quasi-đầy đủ và G compắc (V, p. 401). Nó là một phần tử của Hom$_G(\varrho , \varrho )$ vì đặc trưng của $\pi$ là một hàm trung tâm liên tục trên G.

Cho $\varpi$ là một biểu diễn con hữu hạn chiều của E và F là không gian của nó. Ánh xạ $p_{\pi}$ cảm sinh, bằng cách chuyển qua các không gian con, tự đồng cấu (dim $\pi$ )$\varpi (\overline{\chi}_{\pi})$ của F. Vậy tự đồng cấu này bằng không nếu $\varpi$ không đẳng cấu với $\pi$, và là ánh xạ đồng nhất của F trong trường hợp ngược lại (thực vậy, điều này đúng nếu $\varpi$ là bất khả quy theo Hệ quả 5 của V, p. 460, và trường hợp tổng quát suy ra từ đó vì $\varpi$ là nửa đơn theo Mệnh đề 1 của V, p. 457).

Cuối cùng, vì tổng của các biểu diễn con hữu hạn chiều của E là trù mật trong E (Mệnh đề 7) và $p_{\pi}$ liên tục, suy ra $p_{\pi}$ là một phép chiếu mà ảnh là thành phần đẳng kiểu theo $\pi$ của $\varrho$. Nếu E là không gian Hilbert, phép chiếu $p_{\pi}$ là Hermit theo Hệ quả 1 của V, p. 458, do đó nó là một phép chiếu trực giao (Bổ đề 3, (ii) của I, p. 133).

dim(E$^G$) $=\int_G\chi_{\varrho}(g)d\mu(g)$.

Khẳng định thứ nhất là trường hợp riêng của hệ quả trước khi $\pi$ là biểu diễn tầm thường chiều 1 của G. Khẳng định thứ hai suy ra từ đó vì chiều của $E^G$ là vết của phép chiếu trực giao lên $E^G$, nghĩa là,

dim(E$^G$) $=$ Tr$(\int_G\varrho (g)d\mu(g))=\int_G\chi_{\varrho}(g)d\mu(g)$.

Đặc biệt, khi E là hữu hạn chiều, tồn tại một vectơ $x\not = 0$ trong E sao cho $\varrho (g)x=x$ với mọi $g\in G$ khi và chỉ khi

Các thành phần đẳng kiểu của $\varrho$ tương ứng với các biểu diễn bất khả quy không đẳng cấu của G là trực giao (mệnh đề 8 của V, p. 394). Vì mọi biểu diễn unita hữu hạn chiều của G đều là nửa đơn (mệnh đề 1 của V, p. 457), tổng các thành phần đẳng kiểu $M_{\pi}(\varrho )$ với $\pi \in \widehat{G}$ là trù mật trong E (mệnh đề 7). Hệ quả được suy ra.

(1) $\chi_{\pi}*\chi_{\sigma}= 0$ với mọi $\pi , \sigma$ thuộc $\widehat{G}, \pi \not =\sigma$,

(2) $\chi_{\pi}*\chi_{\pi}=$ dim($1\pi$ )$\chi_{\pi}$ với mọi $\pi$ thuộc $\widehat{G}$.

Cho $\pi$ và $\sigma$ là các biểu diễn bất khả quy của G. Ta có

dim($\pi$ )$(\chi_{\pi}*\chi_{\sigma}) =$ dim($\pi$ )$\boldsymbol{\gamma }_G(\chi_{\pi})\chi_{\sigma}$

(bổ đề 4 của V, p. 407). Hàm dim($\pi$ )$\boldsymbol{\gamma }_G(\chi_{\pi})\chi_{\sigma}$ là phép chiếu trực giao của $\chi_{\sigma}$ lên thành phần đẳng kiểu $\overline{\pi}$ của $\boldsymbol{\gamma }_G$ (hệ quả 2 của V, p. 465), nghĩa là, lên $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ (hệ quả 4 của V, p. 463). Vì $\chi_{\sigma}$ thuộc $\boldsymbol{\varrho }_G(\sigma )$, kết quả được suy ra từ định lý 1 của V, p. 462.

Thật vậy, đồ thị này là ảnh của ánh xạ liên tục từ không gian compact $G\times G$ vào chính nó được xác định bởi $(x, y)\mapsto (x, yxy^{-1})$.

Ta ký hiệu bởi $G^{\sharp}$ không gian các lớp liên hợp của G được trang bị tôpô thương; đó là một không gian compact theo bổ đề 2 và TG, I, p. 78, mệnh đề 8. Cho $\varpi : G\rightarrow G^{\sharp}$ là phép chiếu chính tắc. Ánh xạ từ $\mathscr{C}(G^{\sharp})$ vào $\mathscr{C}(G)$ được xác định bởi $f\mapsto f\circ \varpi$ đồng nhất đại số có đối hợp $\mathscr{C}(G^{\sharp})$ với đại số con có đối hợp của $\mathscr{C}(G)$ tạo thành bởi các hàm trung tâm liên tục.

Các độ đo trên $G^{\sharp}$ được đồng nhất với các độ đo trung tâm trên G (V, p. 402, định nghĩa 1).

Dạng tuyến tính trên $\mathscr{C}(G^{\sharp})$ được xác định bởi $f\mapsto \int_Gf$ khi đó là một độ đo dương có khối lượng 1 trên $G^{\sharp}$, ký hiệu là $\mu^{\sharp}$. Với mọi $p\in [1,+\infty ]$, ta ký hiệu bởi $\mathscr{L}^p(G^{\sharp})$ (tương ứng $L^p(G^{\sharp})$) không gian $\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^p(G^{\sharp}, \mu^{\sharp})$ (tương ứng $L^p_{\mathbf{C}}(G^{\sharp}, \mu^{\sharp})$). Ta đồng nhất $L^p(G^{\sharp})$ với bao đóng của $\mathscr{C}(G^{\sharp})$ trong $L^p(G)$; đặc biệt, đó là một không gian con đóng của $L^p(G)$.

Ta cũng ký hiệu bởi $\Theta (G^{\sharp}) = \Theta (G)\cap \mathscr{C}(G^{\sharp})$ không gian các hệ số ma trận trung tâm của G. Đó là một đại số con có đơn vị và có đối hợp của $\mathscr{C}(G^{\sharp})$.

Khi G là một nhóm Lie, không gian $\Theta (G^{\sharp})$ cũng được ký hiệu là ZΘ(G) trong LIE, IX, p. 71.

Xét biểu diễn unita $\sigma$ của G trong không gian $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ được xác định bởi $\sigma (g) =\boldsymbol{\varrho }_G(g, g)$. Vì biểu diễn unita $\boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ của $G\times G$ đẳng cấu với $\overline{\pi}\boxtimes \pi$ (mệnh đề 5 của V, p. 462), nên đặc trưng của nó được cho bởi

với mọi $g\in G$. Không gian $L^2(G^{\sharp})\cap \boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ là không gian con của các phần tử bất biến dưới biểu diễn này, và chiều của nó bằng

(hệ quả 3 của V, p. 466 và hệ quả 3 của V, p. 459). Vì đặc trưng của $\pi$ là một phần tử khác không của $L^2(G^{\sharp})\cap \boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$, nên nó là một cơ sở của không gian này.

Theo định lý Peter-Weyl (định lý 1 của V, p. 462), không gian con đóng $L^2(G^{\sharp})$ của $L^2(G)$ tạo bởi các phần tử bất biến dưới biểu diễn unita $g\mapsto \boldsymbol{\varrho }_G(g, g)$ của G là tổng Hilbert của các không gian con $L^2(G^{\sharp})\cap \boldsymbol{\varrho }_G(\pi )$ với $\pi \in \widehat{G}$. Do đó mệnh đề suy ra từ bổ đề trước và hệ quả 3 của V, p. 459.

Mệnh đề thứ hai suy ra từ mệnh đề 9. Đối với mệnh đề thứ nhất, xét biểu diễn tuyến tính $\varrho$ của G trên không gian Banach $\mathscr{C}(G)$ được xác định bởi

với mọi $f\in \mathscr{C}(G)$ và mọi $x\in G$. Đó là một biểu diễn liên tục đẳng cự, và $\mathscr{C}(G^{\sharp})$ là không gian các phần tử bất biến dưới biểu diễn này. Do đó phép chiếu liên tục $p=\varrho (1)$ của $\mathscr{C}(G)$ có ảnh là $\mathscr{C}(G^{\sharp})$ (hệ quả 3 của V, p. 466); nó có chuẩn $\leqslant 1$.

Cho $f\in \mathscr{C}(G^{\sharp})$ và cho $\varepsilon >0$. Tồn tại $\widetilde{f}\in \Theta (G)$ sao cho $\|f-\widetilde{f}\|\leqslant \varepsilon$ (mệnh đề 4 của V, p. 462), và khi đó $\|f-p(\widetilde{f})\|=\|p(f-\widetilde{f})\|\leqslant \varepsilon$; vì $p(\widetilde{f})\in \mathscr{C}(G^{\sharp})$, ta kết luận rằng $\Theta (G^{\sharp})$ trù mật trong $\mathscr{C}(G^{\sharp})$.

Kí hiệu $R(G)$ là vành Grothendieck của các biểu diễn liên tục của $G$ trong các không gian vectơ phức tách biệt hữu hạn chiều (x. LIE, IX, p. 70 và A, VIII, p. 182, áp dụng cho lớp cộng tính của các biểu diễn liên tục của $G$ trong các không gian vectơ phức tách biệt hữu hạn chiều, được xem như các $\mathbf{C}$[G]-môđun). Vì mọi biểu diễn tuyến tính liên tục của $G$ trong một không gian vectơ tôpô tách biệt hữu hạn chiều đều là nửa đơn (mệnh đề 1 của V, p. 457), nhóm Abel $R(G)$ là tự do và các lớp của các biểu diễn unita bất khả quy $\pi \in \widehat{G}$ lập thành một cơ sở của nó (A, VIII, p. 186, mệnh đề 7).

b) Ánh xạ $u: R(G)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{C}\rightarrow \Theta (G^{\sharp})$ sao cho $u(\pi \otimes 1) =\chi_{\pi}$ với mọi $\pi \in \widehat{G}$ là một đẳng cấu các đại số trên $\mathbf{C}$.

Mệnh đề thứ nhất suy ra từ Mệnh đề 9 và Hệ quả 1.

Vì các lớp của các biểu diễn $\pi \in \widehat{G}$ lập thành một cơ sở của $\mathbf{Z}$-môđun tự do $R(G)$, ánh xạ $u$ được xác định tốt. Nó là một cấu xạ các $\mathbf{C}$-đại số, và là một đẳng cấu theo a).

Kí hiệu $\sigma$ là hạn chế của $\varrho$ xuống nhóm con compact $G$ của $H$. Cho $\pi$ là một biểu diễn bất khả quy của $G$. Tự đồng cấu $\sigma (\chi_{\pi})\in \mathscr{L}(E)$ có hạng hữu hạn, vì ảnh của nó là thành phần đẳng kiểu theo $\overline{\pi}$ của $\sigma$ (hệ quả 2 của V, p. 465) và thành phần này là hữu hạn chiều theo giả thiết. Do đó, tự đồng cấu $\sigma (f)$ có hạng hữu hạn với mọi $f\in \Theta (G^{\sharp})$ và là compact với mọi $f\in \mathscr{C}(G^{\sharp})$ (hệ quả 1 của V, p. 468 và hệ quả của mệnh đề 2 của III, p. 4).

Gọi $j$ là đơn ánh chính tắc của $G$ vào $H$. Nó là một ánh xạ liên tục mà là $\nu$-thực sự đối với mọi độ đo $\nu$ trên $G$ (INT, V, p. 69, § 6, No.$^o1$, Nhận xét 1). Gọi $\mathfrak{B}$ là bộ lọc các lân cận compắc của phần tử $e$ trong $G$. Với mọi $V\in \mathfrak{B}$, tồn tại một hàm trung tâm liên tục dương $f_V$ trên $G$ có giá được chứa trong $V$ mà tích phân trên $G$ bằng $1$. Gọi $\beta_V$ là độ đo ảnh $j(f_V\cdot \mu)$; đó là một độ đo dương có giá compắc trên $H$ sao cho $\varrho (\beta_V) =\sigma (f_V)$ (INT, V, p. 71, § 6, No.$^o2$, Định lý 1). Từ những điều nói trên, cơ sở bộ lọc trên $\mathscr{M}_c(H)$ là ảnh của $\mathfrak{B}$ dưới ánh xạ $V\mapsto \beta_V$ thỏa mãn các điều kiện của Mệnh đề 2 ở V, p. 402, và mệnh đề được suy ra.

Hệ quả 4 (tiêu chuẩn Weyl về phân bố đều)

Cho $M$ là một tập hợp các độ đo trung tâm dương trên $G$ sao cho $\nu (G) = 1$ với mọi $\nu \in M$. Cho $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc trên $M$. Điều kiện cần và đủ để bộ lọc $\mathfrak{F}$ hội tụ mơ hồ tới độ đo $\mu^{\sharp}$ trên $G^{\sharp}$ là, với mọi biểu diễn unita bất khả quy không tầm thường $\pi$, ta có

lim$_{\nu ,\mathfrak{F}}\int_G\chi_{\pi}(x)d\nu (x) = 0$.

Vì $\nu (G^{\sharp}) = 1 =\mu^{\sharp}(G^{\sharp})$ với $\nu \in M$, giả thiết có nghĩa là

lim$_{\nu ,\mathfrak{F}}\int_{G^{\sharp}}\chi_{\pi}(x)d\nu (x) =\int_{G^{\sharp}}\chi_{\pi}(x)d\mu^{\sharp}(x)$

với mọi biểu diễn $\pi \in \widehat{G}$, do đó nó tương đương với điều kiện

lim$_{\nu ,\mathfrak{F}}\int_{G^{\sharp}}f(x)d\nu (x) =\int_{G^{\sharp}}f(x)d\mu^{\sharp}(x)$

với mọi hàm $f\in \Theta (G^{\sharp})$ theo tính tuyến tính. Vì không gian $\Theta (G^{\sharp})$ là trù mật trong $\mathscr{C}(G^{\sharp})$ (Hệ quả 1), nên giả thiết do đó tương đương với sự hội tụ của bộ lọc $\mathfrak{F}$ tới $\mu^{\sharp}$ trong $\mathscr{M}(G^{\sharp})$ được trang bị tôpô hội tụ đơn giản trong $\mathscr{C}$ (G), tôpô này trùng với tôpô hội tụ mơ hồ vì G compắc (x. INT, III, p. 59, § 1, No.$^o9$).